Đáp án D.

Cách 1: Gọi I là giao điểm của  BC' và B'C  . Trong B C ' D '  kẻ I H ⊥ B D '  tại H.

Ta có 

B C ' ⊥ B ' C D ' C ' ⊥ B ' C B C ' , D ' C ' ∈ B C ' D ' ⇒ B ' C ⊥ B C ' D ' ⇒ B ' C ⊥ I H

Suy ra IH là đường vuông góc chung của BD' và B ' C ⇒ d B D ' , B ' C = I H .

Hai tam giác vuông BC'D' và BHI đồng dạng

⇒ I H D ' C ' = B I B D ' = a 2 2 a 3 = 6 6 ⇒ I H = a 6 6

 Ta chọn D.

Cách 2: (Tọa độ hóa . Độc giả tự thực hiện)

Đáp án B

Đáp án A

Chọn C

a) \(AA'C'C\) là hình chữ nhật

\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow AC\parallel A'C'\\A'C' \subset \left( {A'C'B} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AC\parallel \left( {A'C'B} \right)\)

\(ABC'D'\) là hình bình hành

\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow AD'\parallel BC'\\BC' \subset \left( {A'C'B} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AD'\parallel \left( {A'C'B} \right)\)

Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}AC\parallel \left( {A'C'B} \right)\\AD'\parallel \left( {A'C'B} \right)\\AC,A{\rm{D}}' \subset \left( {AC{\rm{D}}'} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {AC{\rm{D}}'} \right)\parallel \left( {A'C'B} \right) \Rightarrow \left( {\left( {AC{\rm{D}}'} \right),\left( {A'C'B} \right)} \right) = {0^ \circ }\)

b) Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}AB\parallel A'B'\\A'B' \subset \left( {A'B'C'D'} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AB\parallel \left( {A'B'C'D'} \right) \Rightarrow \left( {AB,\left( {A'B'C'D'} \right)} \right) = {0^ \circ }\)

Đáp án D

Gọi I là giao điểm của AC và BD

A I ⊥ B D A I ⊥ B B ' ⇒ A I ⊥ B B ' D ' D

=> B’I là hình chiếu vuông góc của AB’ lên (BB’D’D)

Đáp án C.

Giả sử các kích thước của hình hộp chữ nhật là A B = x , A D = y , A A ' = z . Trong đó  x , y , z > 0   . Để giải bài toán, ta phân tích từng dữ kiện có trong đề bài.

1. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và B'C  bằng 2 a 5 5 .

Ta có

A B / / C D C D ⊂ A ' B ' C D A B ⊄ A ' B ' C D ⇒ A B / / A ' B ' C D ⇒ d A B ; B ' C = d A B ; A ' B ' C D

  = d A ; A ' B ' C D = A H = 2 a 5 5 với H là hình chiếu của A trên .

Từ   1 A H 2 = 1 A A ' 2 + 1 A D 2 ⇒ 1 y 2 + 1 z 2 = 5 4 a 2 (1)

2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và AB' bằng 2 a 5 5 .

Tương tự, ta chứng minh được

B C / / A B ' C ' D ⇒ d B C ; A B ' = d B C ; A B ' C ' D

= B K = 2 a 5 5

 với K là hình chiếu của B trên AB'.

Từ  1 B K 2 = 1 B A 2 + 1 B B ' 2 ⇒ 1 x 2 + 1 z 2 = 5 4 a 2    (2)

3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD' là  a 3 3   .

Gọi   O = A C ∩ B D ⇒ O là trung điểm của BD. Gọi I là trung điểm của DD' thì OI là đường trung bình của   Δ B D D ' ⇒ O I / / B D ' ⇒ B D ' / / A C I

⇒ d B D ' ; A C = d B D ' ; A C I = d D ' ; A C I = d D ; A C I

Ta thấy DI, DA, DC đôi một vuông góc với nhau nên:

1 d 2 D ; A C I = 1 D A 2 + 1 D C 2 + 1 D I 2 = 1 D A 2 + 1 D C 2 + 4 D D ' ⇒ 1 x 2 + 1 y 2 + 4 z 2 = 3 a 2

 (3)

Giải hệ phương trình gồm (1), (2) và (3) ta tìm được: x = y = z , z = 2 a .

Vậy thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho là V = x y z = a . a .2 a = 2 a 3  (đvtt).

Đáp án là B