a: Xét ΔABC có

\(\dfrac{AN}{AB}=\dfrac{AM}{AC}\)

Do đó: MN//BC

Xét tứ giác BNMC có MN//BC

nên BNMC là hình thang

mà \(\widehat{NBC}=\widehat{MCB}\)

nên BMNC là hình thang cân

a: Xét ΔABC có 

N là trung điểm của AB

M là trung điểm của AC

Do đó: NM là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: NM//BC

Xét tứ giác BNMC có NM//BC

nên BNMC là hình thang

mà \(\widehat{B}=\widehat{C}\)

nên BNMC là hình thang cân

a) Xét ΔABC có 

F là trung điểm của AC(gt)

M là trung điểm của BC(gt)

Do đó: FM là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒FM//AB và \(FM=\dfrac{AB}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

mà E∈AB và \(AE=\dfrac{AB}{2}\)(E là trung điểm của AB)

nên FM//AE và FM=AE

Xét tứ giác AEMF có 

FM//AE(cmt)

FM=AE(cmt)

Do đó: AEMF là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Hình bình hành AEMF có \(\widehat{FAE}=90^0\)(ΔABC vuông tại A)

nên AEMF là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

Bài 1:

a) Xét tam giác ABC có M là trung điểm của AB (gt) ,E là trung điểm của AC (gt)

\(\Rightarrow ME\)là đường trung bình tam giác ABC

\(\Rightarrow ME=\frac{1}{2}BC\left(tc\right)\left(1\right)\)

Xét tam giác ADC có E là trung điểm của AC (gt) ,P là trung điểm của DC (gt)

\(\Rightarrow PE\)là đường trung bình của tam giác ADC

\(\Rightarrow PE=\frac{1}{2}AD\left(tc\right)\left(2\right)\)

mà \(AD=BC\left(gt\right)\left(3\right)\)

Từ (1) , (2) và (3) \(\Rightarrow EM=PE\)

CMTT: \(PE=FP,FM=ME\)

\(\Rightarrow ME=EP=PF=FM\)

Xét tứ giác MEPF có:

\(ME=EP=PF=FM\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow MEPF\)là hình thoi ( dhnb)

 b) Vì \(MEPF\)là hình thoi (cmt)

\(\Rightarrow FE\)giao với MP tại trung điểm mỗi đường (tc)  (4)

Xét tam giác ADB có M là trung điểm của AB(gt) ,Q là trung điểm của AD (gt)

\(\Rightarrow MQ\)là đường trung bình của tam giác ADB

\(\Rightarrow MQ//DB,MQ=\frac{1}{2}DB\left(tc\right)\left(5\right)\)

Xét tam giác BDC có N là trung điểm của BC(gt) , P là trung điểm của DC(gt)

\(\Rightarrow NP\)là đường trung bình của tam giác BDC

\(\Rightarrow NP//DB,NP=\frac{1}{2}DB\left(tc\right)\left(6\right)\)

Từ (5) và (6) \(\Rightarrow MQ//PN,MQ=PN\)

Xét tứ giác MQPN có \(\Rightarrow MQ//PN,MQ=PN\)

\(\Rightarrow MQPN\)là hình bình hành (dhnb)

\(\Rightarrow MP\)giao QN tại trung điểm mỗi đường (tc) (7)

Từ (4) và (7) \(\Rightarrow MP,NQ,EF\)cắt nhau tại một điểm 

c) Xét tam giác ABD có Q là trung điểm của AD (gt), F là trung điểm của BD(gt)

\(\Rightarrow QF\)là đường trung bình của tam giác ADB

\(\Rightarrow QF//AB\left(8\right)\)

CMTT: \(FN//CD\)và \(EN//AB\)

Mà Q,F,E,N thẳng hàng 

\(\Rightarrow AB//CD\)

Vậy để Q,F,E,N thẳng hàng thì tứ giác ABCD phải thêm điều kiện  \(AB//CD\)

Tối về mình làm nốt  nhé giờ mình có việc 

Bài 4 :

Để tứ giác ABCD là hình bình hành

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\widehat{DAB}=\widehat{DCB}=120^o\\\widehat{ADC}=\widehat{ABC}\end{cases}}\)

Lại có : \(\widehat{DAB}+\widehat{DCB}+\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=360^o\)

\(\Leftrightarrow\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=120^o\)

\(\Leftrightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ADC}=60^o\)

a: Xét tứ giác AHBK có 

M là trung điểm của AB

M là trung điểm của HK

Do đó: AHBK là hình bình hành

mà \(\widehat{AHB}=90^0\)

nên AHBK là hình chữ nhật

b:

Xét tứ giác AKHC có 

AK//HC

AK=HC

Do đó: AKHC là hình bình hành

c: Xét ΔABC có

N là trung điểm của AC

H là trung điểm của BC

Do đó: NH là đường trung bình

=>NH//AB và NH=AB/2

hay NH//AM và NH=AM

=>AMHN là hình bình hành

mà AM=AN

nên AMHN là hình thoi

Vì M,N là trung điểm AB,AC nên MN là đtb tg ABC

Do đó MN//BC hay MNCB là hthang

Mà \(\widehat{B}=\widehat{C}\) nên MNCB là htc

MN là đtb cm trên rồi

a