Đáp án A

Phương pháp:

Tính độ dài các đoạn thẳng MN và MQ sau đó áp dụng công thức tình thể tích hình trụ  V = π r 2 h

Đáp án B.

Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với MN, đường thẳng này cắt MN, PQ, cung AB,AQ lần lượt tại  

Độ dài cung AB là chu vi đường tròn đáy của hình nón nên

Lại có 

Áp dụng định lý cosin trong tam giác OAB có

Do OD ⊥ AB nên OD là tia phân giác của . Xét tam giác vuông OMH có OH = 

Xét tam giác OPQ có 

Mà

Xét tam giác DOQ có:

Xét tam giác vuông DQF có

=> HF = OD - OH - DF = 

= MQ - NP

Gọi R là bán kính đáy của hình trụ tạo bởi hình chữ nhật MNPQ. Chu vi đáy của hình trụ chính là độ dài của PQ nên 

Khi đó thể tích khối trụ tạo ra bởi hình chữ nhật MNPQ là:

Đáp án B.

Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với MN, đường thẳng này cắt MN, PQ, cung AB,AQ lần lượt tại H,F,D,E 

Độ dài cung AB là chu vi đường tròn đáy của hình nón nên

l A B = 2 πr = 2 π . 2 3 = 4 π 3

Lại có  l a b = α . O A ⇒ α = l a b O A = 4 π 3 : 2 = 2 π 3 = A O B ⏜

Áp dụng định lý cosin trong tam giác OAB có

A B = O A 2 + O B 2 - 2 . O A . O B . cos A O B ⏜ = 2 2 + 2 2 - 2 . 2 2 - 1 2 = 2 3

Do M,N lần lượt là trung điểm của OA,OB nên  A O B ⏜ ⇒ A O D ⏜ = 60 °

⇒ M H = 1 2 M N = 3 2

Do O D ⊥ A B  nên OD là tia phân giác của A O B ⏜ ⇒ A O D ⏜ = 60 ° . Xét tam giác vuông OMH có  O H = O M . cos 60 = 1 . 1 2 = 1 2

Xét tam giác OPQ có  cos P O Q ⏜ = O P 2 + O Q 2 - P Q 2 2 . O P . O Q = 2 2 + 2 2 - 3 2 2 . 2 . 2 = 5 8

Mà  cos P O Q ⏜ = cos 2 D O Q ⏜ = 2 cos 2 D O Q ⏜ - 1 = 5 8 ⇒ cos D O Q ⏜ = 13 4

Xét tam giác DOQ có:

Q D 2 + O Q 2 + O D 2 - 2 . O Q . O D . cos D O Q ⏜ = 8 - 2 13

Xét tam giác vuông DQF có

D F 2 = Q D 2 - Q F 2 = 8 - 2 13 - 3 2 2 = 29 4 - 2 13

⇒ D F = 29 - 8 13 2 = 4 - 13 2 2 = 4 - 13 2

⇒ H F = O D - O H - D F = 2 - 1 2 - 4 - 13 2 = 13 - 1 2 = M Q - N P

Gọi R là bán kính đáy của hình trụ tạo bởi hình chữ nhật MNPQ. Chu vi đáy của hình trụ chính là độ dài của PQ nên P Q = 2 πR → R = 3 2 π  

Khi đó thể tích khối trụ tạo ra bởi hình chữ nhật MNPQ là:

V = πR 2 . MQ = π 3 2 π 2 . 13 - 1 2 = 3 13 - 1 8 π

Cắt mặt xung quanh của một hình nón tròn xoay dọc theo một đường sinh rồi trải ra trên mặt phẳng ta được một nửa hình tròn bán kính R ⇒ đường sinh có độ dài bằng R và chu vi đường tròn đáy bằng nửa chu vi đường tròn bán kính R

Dựng mặt phẳng (Q) chứa đường cao SO của hình chóp

Ta được thiết diện là tam giác SAB như hình vẽ

\(\Rightarrow OI=h;OA=OB=R;\widehat{ASO}=\widehat{BSO=\alpha}\)

(P) cắt (Q) qua giao tuyến MN, MN cắt SO tại điểm I \(\Rightarrow\) IM=IN=r (bán kính đường tròn (C) )

Tam giác SIN đồng dạng với tam giác SOB

\(\Rightarrow\frac{SI}{SO}=\frac{IN}{OB}\Leftrightarrow IN=\frac{SI.OB}{SO}=\frac{\left(SO-MO\right).OB}{SO}=\frac{\left(OB.cot\widehat{OSB}-MO\right).OB}{OB.cot\widehat{OSB}}\\ \Rightarrow r=\frac{Rcot\alpha-h}{Rcot\alpha}=1-\frac{h}{Rcot\alpha}\)