Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng P : 2 x - y + 2 z + 5 = 0 và Q : x - y + 2 = 90 Trên (P) có tam giác ABC , gọi A’,B’,C’ lần lượt là hình chiếu của A,B,C trên (Q) . Biết tam giác ABC có diện tích bằng 4, tính diện tích tam giác A’B’C’
Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng P : 2 x - y + 2 z + 5 = 0 và Q : x - y + 2 = 90 . Trên (P) có tam giác ABC , gọi A ' , B ' , C ' lần lượt là hình chiếu của A,B,C trên (Q) . Biết tam giác ABC có diện tích bằng 4, tính diện tích tam giác A ' B ' C '
A. 2
B. 2 2
C. 2
D. 4 2
Cho tam giác ABC với A(2;-3;2), B(1;-2;2), C(1;-3;3). Gọi A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B, C lên mặt phẳng α : 2 x - y + 2 z - 3 = 0 Khi đó, diện tích tam giác A’B’C’ bằng
A. 1
B. 3 2
C. 1 2
D. 3 2
Đáp án C
Suy ra phương trình mặt phẳng (ABC) là x+ y + z +1=0
Diện tích tam giác ABC là
Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và α là
Khi đó diện tích tam giác A'B'C' là S A ' B ' C ' = S A B C . cos ( A B C ; α ) ^ = 1 2
Chú ý lý thuyết: Nếu đa giác (H) trong mặt phẳng (P) có diện tích S, đa giác (H) trong mặt phẳng là hình chiếu vuông góc (H) của có diện tích S', φ là góc giữa (P), (P') thì S ' = S . cos φ
Cho tam giác ABC với A 2 ; - 3 ; 2 , B 1 ; - 2 ; 2 , C 1 ; - 3 ; 3 . Gọi A ' , B ' , C ' lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B, C lên mặt phẳng α : 2 x - y + 2 z - 3 = 0 . Khi đó, diện tích tam giác A’B’C’ bằng
A. 1
B. 3 2
C. 1 2
D. 3 2
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(2;0;0) , B(1;-4;0), C(0;-2;6) và mặt phẳng ( α ) : x + 2y + z- 5 = 0. Gọi H(a;b;c) là hình chiếu vuông góc của trọng tâm tam giác ABC lên mặt phẳng ( α ) . Tính P = a - b + c.
A. 5
B. -3
C. 3
D. -1
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M 1 ; 2 ; 3 , A 2 ; 4 ; 4 và hai mặt phẳng Q : x - 2 y - z + 4 = 0 , P : x + y - 2 z + 1 = 0 . Đường thẳng ∆ đi qua điểm M, cắt hai mặt phẳng P , Q lần lượt tại B và C a ; b ; c sao cho tam giác ABC cân tại A và nhận AM làm đường trung tuyến. Tính T = a + b + c .
A. T = 9
B. T = 3
C. T = 7
D. T = 5
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(1;2;3), A(2;4;4) và hai mặt phẳng (P):x+y-2z+1=0, (Q):x-2y-z+4=0. Đường thẳng ∆ đi qua điểm M, cắt hai mặt phẳng (P), (Q) lần lượt tại B và C(a;b;c) sao cho tam giác ABC cân tại A và nhận AM làm đường trung tuyến. Tính T=a+b+c.
A. T = 9
B. T = 3
C. T = 7
D. T = 5
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A 0 ; 0 ; 3 , B − 2 ; 0 ; 1 và mặt phẳng α : 2 x − y + 2 z + 8 = 0 . Hỏi có bao nhiêu điểm C trên mặt phẳng α sao cho tam giác ABC đều.
A. 2
B. 0
C. 1
D. Vô số
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x - y - 2z - 12 = 0 và hai điểm A ( 1;1;3 ), B ( 2;1;4 ). Tìm tập hợp tất cả các điểm C ∈ P sao cho tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất
A. x = - t y = - 8 9 z = - 8 9 + t
B. x = t y = - 8 9 z = - 8 9 + t
C. x = - 2 t y = - 8 9 z = - 8 9 + t
D. x = 2 t y = - 8 9 z = - 8 9 + t
Từ phương trình mặt phẳng (P) ta có: y = 2x - 2z - 12 nên tọa độ điểm C a ; 2 a - 2 b ; b
Ta có A B ⇀ = 1 ; 0 ; 1 , A C → = a - 1 ; 2 a - 2 b - 13 ; v - 3
Suy ra A B ⇀ , A C ⇀ = 2 a - 2 b - 13 ; b - a - 2 ; 13 - 2 a + 2 b
Do đó
S A B C = 1 2 A B ⇀ , A C ⇀ = 1 2 2 a - 2 b - 13 2 + b - a - 2 2 + 13 - 2 a + 2 b 2
Đặt t = a - b thì
4 S ∆ A B C 2 = 2 t - 13 2 + t + 2 2 + 13 - 2 t 2 = 9 t 2 - 100 t + 342 = 30 t - 50 3 2 + 578 9 ≥ 578 9
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi t = 50 9
Do đó m i n S A B C = 17 2 6 khi t = 50 9 . Vì thế b = a - 50 9
Suy ra C a ; - 8 9 ; a - 50 9
Vậy tập hợp các điểm C là đường thẳng có phương trình x = t y = - 8 9 z = - 8 9 + t
Đáp án B
