Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x - y - 2z - 12 = 0 và hai điểm A ( 1;1;3 ), B ( 2;1;4 ). Tìm tập hợp tất cả các điểm C ∈ P sao cho tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất
A. x = - t y = - 8 9 z = - 8 9 + t
B. x = t y = - 8 9 z = - 8 9 + t
C. x = - 2 t y = - 8 9 z = - 8 9 + t
D. x = 2 t y = - 8 9 z = - 8 9 + t
Từ phương trình mặt phẳng (P) ta có: y = 2x - 2z - 12 nên tọa độ điểm C a ; 2 a - 2 b ; b
Ta có A B ⇀ = 1 ; 0 ; 1 , A C → = a - 1 ; 2 a - 2 b - 13 ; v - 3
Suy ra A B ⇀ , A C ⇀ = 2 a - 2 b - 13 ; b - a - 2 ; 13 - 2 a + 2 b
Do đó
S A B C = 1 2 A B ⇀ , A C ⇀ = 1 2 2 a - 2 b - 13 2 + b - a - 2 2 + 13 - 2 a + 2 b 2
Đặt t = a - b thì
4 S ∆ A B C 2 = 2 t - 13 2 + t + 2 2 + 13 - 2 t 2 = 9 t 2 - 100 t + 342 = 30 t - 50 3 2 + 578 9 ≥ 578 9
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi t = 50 9
Do đó m i n S A B C = 17 2 6 khi t = 50 9 . Vì thế b = a - 50 9
Suy ra C a ; - 8 9 ; a - 50 9
Vậy tập hợp các điểm C là đường thẳng có phương trình x = t y = - 8 9 z = - 8 9 + t
Đáp án B