a) Xét \(\Delta\)ABE và \(\Delta\)FBE có :

BF=BA (gt)

\(\widehat{ABE}=\widehat{FBE}\) ( vì tia phân giác góc B )

BE chung (gt)

Do đó \(\Delta\)ABE = \(\Delta\)FBE (c-g-c)

b) Ta có :

ABE = \(\Delta\)FBE (cmt)

=> \(\widehat{EAB}=\widehat{EFB}=90^o\) ( 2 cặp góc tương ứng )

Vậy \(\widehat{EFB}\) = 90^o

c) Vì AH \(\perp\) BC nên \(\widehat{AHB}\) = 90^o

\(\widehat{EFB}\)=90^o ( câu b )

=> \(\widehat{AHB}\) và \(\widehat{EFB}\) là 2 cặp góc đồng vị

=> AH//EF

a) Xét \(\Delta ABE\)và \(\Delta FBE\)có:

\(BA=BF\left(gt\right)\)

\(\widehat{ABE}=\widehat{FBE}\left(gt\right)\)

\(BE\)là cạnh chung

Do đó \(\Delta ABE=\Delta FBE\left(c.g.c\right)\)

b) Vì \(\Delta ABE=\Delta FBE\)(câu a)

Nên \(\widehat{BAE}=\widehat{BFE}\)(2 góc tương ứng)

Mà \(\widehat{BAE}=90^o\left(gt\right)\)

Nên \(\widehat{BFE}=90^o\)

c) Vì \(\widehat{EFB}=90^o\)(câu b)

\(\Rightarrow EF\perp BC\)

Mà \(AH\perp BC\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow EF//AH\)

a) Ta có : tam giác ABC vuông tại A 

=> góc B + góc C = 90\(^o\)

Mà góc B = 53\(^o\)

=> góc C = góc A - góc B 

=> góc C = 90\(^o\)- 53\(^o\)

=> góc C = 37\(^o\)

b) Xét tam giác BEA và  tam giác BED có :

BD = BA (gt)

BE là cạnh chung

góc ABE = góc DBE ( BE là tia p/giác của góc B)

=>  tam giác BEA =  tam giác BED

c) Ta có CH vuông góc với BE 

=> Tam giác BHC và  tam giác BHF là  tam giác vuông

Xét  tam giác vuông BHF và  tam giác vuông BHC có:

BH là cạnh chung 

góc FBH = góc HBC ( BE là tia p/giác của góc B)

=>  tam giác vuông BHF =  tam giác vuông BHC ( cạnh góc vuông + góc nhọn )

=> BF = BC ( 2 cạnh tương ứng ) (*)

d) Xét tam giác BEF và tam giác BEC có :

BF = BC ( theo (*))

góc FBE = góc CBE ( BE là tia p/giác của góc B)

BE là cạnh chung

=>  tam giác BEF = tam giác BEC (c . g . c )

=> góc BFD = góc BCA ( 2 góc tương ứng ) (**)

Xét  tam giác BAC và  tam giác BDF có :

góc BFD = góc BCA ( theo (**))

góc B là góc chung

BA = BD (gt)

=> tam giác BAC =  tam giác BDF ( g . c . g )

=> góc FDB = góc CAB ( 2 góc tương ứng )

Xét tam giác BED có : góc EBD +  góc BED +  góc BDE = 180\(^o\)

Mà :góc FDB = góc CAB = 90\(^o\)

góc EBD = \(\frac{1}{2}\)góc B = \(\frac{53}{2}\)= 26,5\(^o\)

=> góc BED = 180\(^o\)- (90\(^o\)+ 26,5\(^o\))

=> góc BED = 180\(^o\)- 116,5\(^o\)

=> góc BED = 63,5\(^o\)

Mặt khác : Tam giác BED = tam giác BEA 

=> góc AEB = BED = 63,5\(^o\)

Xét tam giác FAE có :góc FAE + góc FEA + góc AFE = 180\(^o\)

Mà : góc FAE = 90\(^o\), góc AFE = góc ACB = 37\(^o\)

=> FEA = 180\(^o\)- (90\(^o\)+ 37\(^o\))

=> FEA = 180\(^o\)- 127\(^o\)

=> FEA = 53\(^o\)

Lại có : góc FAD = góc FEA + góc AEB + góc BED 

=> FAD = 53\(^o\)+ 63,5\(^o\)+ 63,5 \(^o\)

=> FAD = 180\(^o\)

=> D, F, E thẳng hàng

a: Xét tứ giác ABMI có

MI//AB

MI=AB

Do đó; ABMI là hình bình hành

Xét tứ giác AEMF có

góc AEM=góc AFM=góc FAE=90 độ

nên AEMF là hìnhchữ nhật

b: \(AB=\sqrt{\dfrac{BC^2}{2}}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\left(cm\right)\)

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot4\sqrt{2}\cdot4\sqrt{2}=2\sqrt{2}\cdot4\sqrt{2}=16\left(cm^2\right)\)

c: A đối xứng D qua BC

nên CA=CD

=>CD=AB

S(ACF) = S(ACFG) -S(AFG)

S(ACFG) = S(ACD) + S(CDGF) = \(\frac{8.8}{2}\)+ \(\frac{\left(8+4\right).4}{2}\)= 32 + 24 = 56 (cm²) (1)

S(AFG) = \(\frac{\left(AD+DG\right).GF}{2}\)= \(\frac{\left(8+4\right).4}{2}\)= 24 cm² (2)

vậy từ (1) và (2) --> S(ACF) = 56 - 24 = 32 cm²

Để chứng minh a là trung điểm của HK, ta cần chứng minh rằng a là trung điểm của HK.

Gọi a là trung điểm của HK, ta cần chứng minh rằng HA = AK.

Ta có:

- Tam giác ABC là tam giác cân tại A, nên AH là đường cao của tam giác ABC và cắt BC thành hai phần bằng nhau. Vậy H là trung điểm của BC.

- Ta biết MN là đường thẳng vuông góc với BC, nên HK là đường cao của tam giác MNK và cắt MN thành hai phần bằng nhau. Vậy K là trung điểm của MN.

Vậy ta có AH = HK và AK là đường trung bình của tam giác AMN.

Ta cần chứng minh AK = HA.

Gọi P là giao điểm của AK và HA.

Ta có:

- Ta biết AH = HK, nên tam giác AHK là tam giác cân tại H. Vậy góc AHK = góc AKH.

- Ta biết MN là đường thẳng vuông góc với BC, nên tam giác MNK là tam giác vuông tại K. Vậy góc MNK = 90 độ.

- Ta biết AK là đường trung bình của tam giác AMN, nên góc AKH = góc MNK.

Từ các quan sát trên, ta có:

góc AHK = góc AKH = góc MNK = 90 độ.

Vậy tứ giác AKHG là hình chữ nhật với AK = HG.

Vậy ta đã chứng minh được a là trung điểm của HK.