Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng P : 2 x - y + 2 z - 4 = 0 và Q : 2 x - y + 2 z + 5 = 0 . Mặt cầu (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) và (Q) có bán kính bằng
A. 3
B. 3 2
C. 9
D. 1 2
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng P : 2 x - y + 2 z - 4 = 0 và Q : 2 x - y + 2 z + 5 = 0 . Mặt cầu S tiếp xúc với hai mặt phẳng P và Q có bán kính bằng
A. 3
B. 3 2
C. 9
D. 1 2
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x-y-2z-2=0 và mặt phẳng (Q): 2x-y-2z+10=0 song song với nhau. Biết A(1;2;1) là điểm nằm giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). Gọi (S) là mặt cầu qua A và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q). Biết rằng khi (S) thay đổi thì tâm của nó luôn nằm trên một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó
A. r = 4 2 3
B. r = 2 2 3
C. r = 5 3
D. r = 2 5 3
Chọn A
Điểm M(1;0;0) là 1 điểm thuộc (P)
Vì (P) // (Q) nên
Giả sử I(a;b;c) là tâm của (S). Vì (S) tiếp xúc với cả (P) và (Q) nên bán kính mặt cầu (S) là:
Do đó IA = 2 nên I luôn thuộc mặt cầu (T) tâm A, bán kính 2.
Ngoài ra
Do đó I luôn thuộc mặt phẳng (R): 2x-y-2z+4=0.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (R). Vì A, (R) cố định nên H cố định.
Ta có
do đó tam giác AHI vuông tại H nên
Vậy I luôn thuộc đường tròn tâm H, nằm trên mặt phẳng (R), bán kính
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x 2 = y - 3 1 = z - 2 1 và hai mặt phẳng
P x - 2 y + 2 z = 0 ; Q : x - 2 y + 3 z - 5 = 0 . Mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S). Viết phương trình của mặt cầu (S).
A. S : x + 2 2 + y + 4 2 + z + 3 2 = 1
B. S : x - 2 2 + y - 4 2 + z - 3 2 = 6
C. S : x - 2 2 + y - 4 2 + z - 3 2 = 2 7
D. S : x - 2 2 + y + 4 2 + z + 4 2 = 8
Chọn C.
Phương pháp: Lần lượt tìm các yếu tố tâm và bán kính của mặt cầu.
Cách giải: Tọa độ tâm mặt cầu thỏa mãn hệ
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x − 4 y − 4 z = 0 và mặt phẳng P : x − 2 y + 2 z = 0 . . Viết phương trình mặt phẳng (Q), biết mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).
A. x − 2 y + 2 z − 3 = 0
B. x − 2 y + 2 z − 8 = 0 x − 2 y + 2 z + 10 = 0
C. x − 2 y + 2 z − 9 = 0
D. x − 2 y + 2 z − 6 = 0
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x 2 = y - 3 1 = z - 2 1 và hai mặt phẳng
(P): x-2y+2z=0. (Q): x-2y+3z-5=0. Mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S). Viết phương trình của mặt cầu (S).
Mặt cầu (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng (P): 2x-y+2z-1=0 và (Q): 2x-y+2z+3=0. Tính R(S)
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng ( Q ) : x + 2 y – 2 z + 1 = 0 và tiếp xúc với mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x – 4 y – 2 z – 3 = 0
A. x + 2 y – 2 z + 6 = 0 ; x + 2 y – 2 z – 12 = 0
B. x + 2 y – 2 z + 8 = 0 ; x + 2 y – 2 z – 10 = 0
C. x + 2 y – 2 z + 10 = 0 ; x + 2 y – 2 z – 8 = 0 .
D. x + 2 y – 2 z + 12 = 0 ; x + 2 y – 2 z – 6 = 0
Chọn C.
Trên mặt phẳng (Q): x + 2y - 2z + 1 = 0 chọn điểm M (-1;0;0).
Do (P) song song với mặt phẳng (Q) nên phương trình của mặt phẳng (P) có dạng: x + 2y - 2z + D = 0 với D ≠ 1.
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn: x + 2y – 2z + 10 = 0 và x + 2y -2z – 8 = 0.
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng ( Q ) : x + 2 y - 2 z + 1 = 0 và tiếp xúc với mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x – 4 y – 2 z – 3 = 0
A. x + 2 y – 2 z + 12 = 0 v à x + 2 y – 2 z - 6 = 0
B. x + 2 y – 2 z – 12 = 0 v à x + 2 y – 2 z + 6 = 0
C. x + 2 y – 2 z + 10 = 0 v à x + 2 y – 2 z - 8 = 0
D. x + 2 y – 2 z – 10 = 0 v à x + 2 y – 2 z + 8 = 0
Chọn D.
Mặt cầu (S) có tâm I(-1;2;1) và bán kính
Do (P) song song với mặt phẳng (Q) nên phương trình của mặt phẳng (P) có dạng:
x + 2y – 2z + D = 0 với D ≠ 1.
Vì (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên d(I;(P)) = R = 3
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn: x + 2y – 2z – 10 = 0 và x + 2y – 2z + 8 = 0
