Chọn đáp án C

Đáp án A.

Ta có

sin 2 x + 3 cos 2 x = − 2 ⇔ cos 2 x − π 6 = − 2 2 .

⇔ x = − 7 π 24 + k π  hoặc x = 11 π 24 + k π , k ∈ ℤ .

Nghiệm thuộc đoạn 0 ; 2 π  của phương trình là 11 π 24 ; 17 π 24 ; 35 π 24 ; 41 π 24 .

Suy ra S = 11 π 24 ; 17 π 24 ; 35 π 24 ; 41 π 24 .

Do đó tổng các phần tử thuộc S là

11 π 24 + 17 π 24 + 35 π 24 + 41 π 24 = 104 24 π + 13 3 π

Ta có m=13 và n=3 nên T=2322.

Đáp án A.

Bài toán chia kẹo kinh điển đây mà.

Trước hết chúng ta đếm 1 chút theo kiểu lớp 1 lớp 2 gì đó: có 1 đoạn thẳng, cần chia đoạn thẳng ấy làm 3 phần, vậy cần chấm lên đoạn thẳng ấy mấy điểm? Câu trả lời rõ ràng là 2 điểm. Cần chia 1 con cá thành 3 khúc, ta cần 2 nhát cắt; cần ngăn 4 con cọp xếp hàng ngang để chúng đỡ cắn nhau, ta cần 3 vách ngăn. Hay để chia 1 đối tượng làm n phần, ta cần dùng n-1 vách ngăn để chia nó ra, Như thế này:

​

Bây giờ có số tự nhiên n, ta phân tích nó như sau:

\(n=1+1+1+...+1+1+1\)

Giả sử ta "vách ngăn" vào một vài vị trí giữa các số 1, kiểu thế này:

\(1+1+\left|1+1+1\right|+1+|1+1+...+1\)

Rõ ràng với 3 vách ngăn trên, ta chia n thành 3+1=4 phần, mỗi phần đều có giá trị nguyên dương, lần lượt là 2,3,1,n-6. 

Bây giờ cần chia dãy \(1+1+...+1\) trên thành m phần, vậy cần đặt bao nhiêu vách ngăn? Cũng như ban đầu đã phân tích, ta cần đặt \(m-1\)  tấm vách ngăn.

Ta có bao nhiêu vị trí để đặt \(m-1\) vách ngăn nói trên? Có n số 1, ta sẽ có \(n-1\) vị trí đặt vách ngăn, sao cho giữa 2 vách ngăn có ít nhất một số 1 (hay giữa 2 vách ngăn luôn là 1 giá trị nguyên dương).

Tóm lại, để chia dãy tổng \(1+1+...+1\) (n số hạng) thành m phần, sao cho mỗi phần chứa ít nhất một số 1, ta cần đặt \(m-1\) tấm vách ngăn vào \(n-1\) vị trí khả dĩ. Như vậy, ta có \(C_{n-1}^{m-1}\) cách.

Hiển nhiên, giá trị của mỗi phần (tức là tổng các số 1 trong phần đó) chính là giá trị nghiệm \(x_i\) của pt \(\sum\limits^m_{i=1}x_i=n\). Vậy pt có \(C_{n-1}^{m-1}\) nghiệm nguyên dương.

//Bay giờ tới nghiệm tự nhiên thì đơn giản, số tự nhiên khác số nguyên dương đúng 1 số 0, bây giờ ta "loại" nó đi là ra bài toán bên trên. Bằng cách đặt \(y_1=x_1+1;y_2=x_2+1...;y_m=x_m+1\), ta đảm bảo \(y_i\) luôn nguyên dương khi \(x_i\) tự nhiên.

Khi đó:

\(y_1+y_2+...+y_m=\left(x_1+1\right)+\left(x_2+1\right)+...+\left(x_m+1\right)\)

\(=\left(x_1+x_2+...+x_m\right)+m=n+m\)

Quay về bài trên, ta có pt \(y_1+y_2+...+y_m=n+m\) có \(C_{n+m-1}^{m-1}\) nghiệm. 

Ứng với mỗi \(y_i\) cho đúng 1 giá trị \(x_i=y_i-1\) tương ứng, do đó pt:

\(\sum\limits^m_{i=1}x_i=n\) có \(C_{n+m-1}^{m-1}\) nghiệm tự nhiên

Công thức đầu của em có vẻ bị sai :D