Theo định lí sin trong tam giác ta có:  a sin A = 2 R ⇒ a = 2 R . sin A

Tương tự, b = 2RsinB; c= 2R.sin C

Theo đầu bài:

 a + b =2c ⇒ 2Rsin A + 2Rsin B = 4Rsin C ⇒ sin A + sin B = 2sin C.

ĐÁP ÁN C

Ta có:   b . cos C + c . cos B = b . a 2 + b 2 − c 2 2 a b + c . c 2 + a 2 − b 2 2 a c

= a 2 + ​ b 2 − c 2 2 a + ​ c 2 + a 2 − b 2 2 a = a 2 + ​ b 2 − c 2 + c 2 + a 2 − b 2 ​ 2 a = 2 a 2 2 a = a

ĐÁP ÁN B

* Diện tích tam giác ABC là:   S ​ =    1 2 b c . sin A ⇒ 4 S = 2 b c sin A

cot A = cosA sin A = b 2 + ​ c 2 − a 2 2 b c sin A = b 2 + ​ c 2 − a 2 2 b c . s i n A = b 2 + ​ c 2 − a 2 4 S

* Tương tự, ta có:   cot B = a 2 + ​ c 2 − b 2 4 S ;     cot C = a 2 + ​ b 2 − c 2 4 S

* Do đó,

cot A + ​ cot B + cot C = b 2 + ​ c 2 − a 2 4 S + ​ a 2 + ​ c 2 − b 2 4 S + a 2 + ​ b 2 − c 2 4 S = a 2 + ​ b 2 + c 2 4 S

ĐÁP ÁN B

Diện tích tam giác ABC: \(S = \frac{1}{2}ac.\sin B\)

Mà \(\widehat B = {135^o} \Rightarrow \sin B = \sin {135^o} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

\( \Rightarrow S = \frac{1}{2}ac.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}.ac\)

Chọn D

A. \({a^2} = {b^2} + {c^2} + \sqrt 2 ab.\) (Loại)

Vì: Theo định lí cos ta có: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A\)

Không đủ dữ kiện để suy ra \({a^2} = {b^2} + {c^2} + \sqrt 2 ab.\)

B. \(\frac{b}{{\sin A}} = \frac{a}{{\sin B}}\) (Loại)

Theo định lí sin, ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} \nRightarrow \frac{b}{{\sin A}} = \frac{a}{{\sin B}}\)

C. \(\sin B = \frac{{ - \sqrt 2 }}{2}\)(sai vì theo câu a, \(\sin B = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\))

D. \({b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca\cos {135^o}.\)

Theo định lý cos ta có:

\({b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca.\cos B\) (*)

Mà \(\widehat B = {135^o} \Rightarrow \cos B = \cos {135^o}\).

Thay vào (*) ta được: \({b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca\;\cos {135^o}\)

=> D đúng.

Chọn D

Theo định lí sin trong tam giác ta có:

a sin A = 2 R ⇒ a = 2 R ​ . sin A

Tương tự, b = 2 R . sin B ;    c = 2 R . sin C

 Theo bất đẳng thức tam giác ta có:  a + b > c

Do đó,  2Rsin A + 2Rsin B > 2Rsin C ⇒ sin A + sin B > sin C

Tương tự, sin A + sin C > sin B và sin B + sin C > sin A

Vậy D sai.

ĐÁP ÁN D

Khẳng định đúng: a

A. \(\sin A = \sin \,(B + C)\)

Ta có: \((\widehat A  + \widehat C) + \widehat B= {180^o}\)

\(\Rightarrow \sin \,(B + C) = \sin A\)

=> A đúng.

B. \(\cos A = \cos \,(B + C)\)

Sai vì \(\cos \,(B + C) =  - \cos A\)

C. \(\;\cos A > 0\) Không đủ dữ kiện để kết luận.

Nếu \({0^o} < \widehat A < {90^o}\) thì \(\cos A > 0\)

Nếu \({90^o} < \widehat A < {180^o}\) thì \(\cos A < 0\)

D. \(\sin A\,\, \le 0\)

Ta có \(S = \frac{1}{2}bc.\sin A > 0\). Mà \(b,c > 0\)

\( \Rightarrow \sin A > 0\)

=> D sai.

Chọn A

Đáp án D