Áp dụng hệ quả của định lí Ta – lét cho OE//DC,

OF//DC và AB//DC ta được:

Điều phải chứng minh.

Xét ΔOAB và ΔOCD có

\(\widehat{OAB}=\widehat{OCD}\)(hai góc so le trong, AB//CD)

\(\widehat{AOB}=\widehat{COD}\)

Do đó: ΔOAB đồng dạng với ΔOCD

=>\(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}\)

=>\(\dfrac{OC}{OA}=\dfrac{OD}{OB}\)

=>\(\dfrac{OC}{OA}+1=\dfrac{OD}{OB}+1\)

=>\(\dfrac{OC+OA}{OA}=\dfrac{OD+OB}{OB}\)

=>\(\dfrac{AC}{OA}=\dfrac{BD}{OB}\)

=>\(\dfrac{AO}{AC}=\dfrac{BO}{BD}\)(1)

Xét ΔADC có OE//DC

nên \(\dfrac{OE}{DC}=\dfrac{AO}{AC}\left(2\right)\)

Xét ΔBDC có OH//DC

nên \(\dfrac{OH}{DC}=\dfrac{BO}{BD}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\dfrac{OE}{DC}=\dfrac{OH}{DC}\)

=>OE=OH

Xét ΔADC có OE//DC

nên \(\dfrac{OE}{DC}=\dfrac{AE}{AD}\left(1\right)\)

Xét ΔBDC có OH//DC

nên \(\dfrac{OH}{DC}=\dfrac{BH}{BC}\left(2\right)\)

Xét hình thang ABCD có EH//AB//CD

nên \(\dfrac{AE}{ED}=\dfrac{BH}{HC}\)

=>\(\dfrac{ED}{AE}=\dfrac{CH}{HB}\)

=>\(\dfrac{ED+AE}{AE}=\dfrac{CH+HB}{HB}\)

=>\(\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{CB}{HB}\)

=>\(\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{BH}{BC}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\dfrac{OE}{DC}=\dfrac{OH}{DC}\)

=>OE=OH

Ta có \( \mathrm{OE} = \frac{1}{2}(\mathrm{AC} - \mathrm{BD}) \) và \( \mathrm{OH} = \frac{1}{2}(\mathrm{AC} - \mathrm{BD}) \).

Vì \( \mathrm{AB} / / \mathrm{CD} \), nên các tam giác \( \mathrm{ABE} \) và \( \mathrm{CDH} \) đồng dạng.

Do đó, \( \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AD}} = \frac{\mathrm{CH}}{\mathrm{CD}} \).

Tương tự, \( \frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{BA}} = \frac{\mathrm{CH}}{\mathrm{CD}} \).

Tổng hai phương trình trên ta có \( \frac{\mathrm{AE}+\mathrm{BE}}{\mathrm{AD}+\mathrm{BA}} = \frac{\mathrm{CH}}{\mathrm{CD}} \).

Nhưng \( \mathrm{AD}+\mathrm{BA} = \mathrm{AD}+\mathrm{BC} = \mathrm{AC} \) và \( \mathrm{AE}+\mathrm{BE} = \mathrm{AE}+\mathrm{AD} = \mathrm{DE} \).

Vậy \( \frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AC}} = \frac{\mathrm{CH}}{\mathrm{CD}} \) hoặc \( \mathrm{DE} = \frac{\mathrm{CH} \cdot \mathrm{AC}}{\mathrm{CD}} \).

Lưu ý rằng \( \mathrm{CH} \) là độ dài đoạn thẳng vuông góc từ \( \mathrm{C} \) đến \( \mathrm{AB} \), nên \( \mathrm{CH} = \frac{\mathrm{CD} \cdot \mathrm{BH}}{\mathrm{BC}} \).

Do đó, \( \mathrm{DE} = \frac{\mathrm{CD} \cdot \mathrm{BH} \cdot \mathrm{AC}}{\mathrm{BC} \cdot \mathrm{CD}} \).

Hóa giản và ta có \( \mathrm{DE} = \frac{\mathrm{BH} \cdot \mathrm{AC}}{\mathrm{BC}} \).

Xét tam giác \( \mathrm{BHE} \), ta thấy \( \mathrm{OE} \) là đoạn trung bình của \( \mathrm{BH} \), nên \( \mathrm{OE} = \frac{1}{2}\mathrm{BH} \).

Tổng kết lại, \( \mathrm{OE} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\mathrm{BH} \cdot \mathrm{AC}}{\mathrm{BC}} = \frac{\mathrm{DE}}{2} = \mathrm{OH} \).

Vậy, chúng ta đã chứng minh được \( \mathrm{OE} = \mathrm{OH} \).

Bạn tự vẽ hình nhé

Xét \(\Delta ACD\) có OE // CD(gt)

=> \(\dfrac{OE}{DC}=\dfrac{AO}{AC}\left(1\right)\)

Xét \(\Delta BCD\) có OF // CD (gt)

=> \(\dfrac{OF}{DC}=\dfrac{BF}{FC}\left(2\right)\)

Mặt khác AB // CD nên  \(\dfrac{AO}{AC}=\dfrac{BF}{FC}\left(3\right)\)

Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\)

=> \(\dfrac{OE}{DC}=\dfrac{OF}{DC}\) => OE = OF

Tam giác ABD có OE//AB

=>DO/DB = OE/AB (Theo hệ quả Đlý Ta-lét) (1) 
Tam giác ABC có OF//AB

=>CO/CA = OF/AB (Theo hệ quả Đlý Ta-lét) (2) 
Tam giác ABO có CD//AB

=>OD/OB = OC/OA (Theo hệ quả Đlý Ta-lét) 
=> OD/(OB+OD) = OC/(OA+OC) hay OD/DB=CO/CA (3) 
Từ (1) (2) và (3)

=> OE/AB = OF/AB 
=> OE = OF (đpcm.) 

alodgdhgjkhukljhkljyutfruftyhf

Xét tam giác ADC có EO // CD nên :

 (Hệ quả định lí ta- let).

Xét tam giác BDC có OF // CD nên:

  ( hệ quả định lí Ta- let)

Xét tam giác ABC có OF // AB nên theo định lí  Ta – let :

Từ (1); (2); (3) suy ra: 

 (đpcm)