Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 2x + 4y - 4z -16 = 0 và mặt phẳng (P): x + 2y - 2z - 2 = 0. Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính là:
A. r = 6
B. r = 2 2
C. r = 4
D. r = 2 3
Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu S x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 2 y − 4 z − 10 = 0 và mặt phẳng P : 2 x + y − z − 5 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) và cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính bằng một nửa bán kính mặt cầu (S).
A. Q 1 : 2 x + y − z + 1 + 6 2 = 0 và Q 2 : 2 x + y − z + 1 − 6 2 = 0
B. Q 1 : 2 x + y − z + 1 + 2 3 = 0 và Q 2 : 2 x + y − z + 1 − 2 3 = 0
C. Q 1 : 2 x + y − z − 1 + 6 2 = 0 và Q 2 : 2 x + y − z − 1 − 6 2 = 0
D. Q 1 : 2 x + y − z + 2 3 = 0 và Q 2 : 2 x + y − z − 2 3 = 0
Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 -2x + 2y - 4z -10 = 0 và mặt phẳng (P): 2x + y - z - 5 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) và cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính bằng một nửa bán kính mặt cầu (S)
Chọn B
Mặt cầu (S) có tâm I(1;-1;2) và bán kính
Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu S : x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 2 y - 4 z - 10 = 0 và mặt phẳng P : 2 x + y - z - 5 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) và cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính bằng một nửa bán kính mặt cầu (S)
A. Q 1 : 2 x + y - z - 1 + 6 2 = 0 và Q 2 : 2 x + y - z - 1 - 6 2 = 0
B. Q 1 : 2 x + y - z + 1 + 6 2 = 0 và Q 2 : 2 x + y - z + 1 - 6 2 = 0
C. Q 1 : 2 x + y - z + 2 3 = 0 và Q 2 : 2 x + y - z - 2 3 = 0
D. Q 1 : 2 x + y - z - 1 + 2 3 = 0 và Q 2 : 2 x + y - z - 1 - 2 3 = 0
Đáp án B
Mặt cầu (S) có tâm I(1;-1;2) và bán kính
Ta có (Q) // (P) nên (Q) có dạng:
Mặt phẳng (Q) cắt (S) theo 1 đường tròn có bán kính
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x+2y-z+9=0 và mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 + 2 x - 4 y - 4 z - 40 = 0 . Biết rằng (P) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn (C). Mặt cầu (T ) đi qua điểm M(1;-5;2) và chứa đường tròn (C) có bán kính bằng
A. 9.
B. 7.
C. 8.
D. 10.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x + 2 y + 4 z - 3 = 0 Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1;0;1), B(-1;1;2) và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính lớn nhất. Phương trình của mặt phẳng (P) là:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y -2z + m = 0 và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 2x + 4y -6z - 2= 0. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (T) có chu vi bằng 4π√3
A. 3
B. 4
C. 2
D. 1
Chọn C
(S) có tâm I (1; -2; 3) và bán kính R = 4
Gọi H là hình chiếu của I lên (P).
(P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (T) có chu vi bằng 4π√3
Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn.
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 - 2x + 4y + 2z - 19 = 0 và mặt phẳng (P): x - 2y + 2z - 12 = 0. Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.
Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc với (P). Phương trình của d là
Tâm của (C) là điểm H = d ∩ (P). Để tìm H ta thay phương trình của d vào phương trình của (P).
Ta có: 1 + t - 2(-2 - 2t) + 2(-1 + 2t) - 12 = 0
Suy ra t = 1, do đó H = (2; -4; 1).
Bán kính của (C) bằng
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 - 6 x + 4 y - 2 z + 5 = 0 Phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn bán kính bằng 2 là
A. (Q): 2y+z=0
B. (Q): 2x-z=0
C. (Q): y-2z=0
D. (Q): 2y-z=0
Đáp án D
Phương pháp:
Trong đó
d: khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (P),
r: bán kính đường tròn là giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P)
R: bán kính hình cầu.
Cách giải:
( S ) : x 2 + y 2 + z 2 - 6 x + 4 y - 2 z + 5 = 0
=> (S) có tâm I(3;-2;1) bán kính R = 3
(Q) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn bán kính r = 2
Ta có
là một VTCP (Q)
Khi đó
Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua O(0;0;0) và có VTPT n → =(0;b;c) là:
Khoảng cách từ tâm I đến (Q):
Phương trình mặt phẳng (Q): 2y -z =0
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 - 6 x + 4 y - 2 z + 5 = 0 . Phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn bán kính bằng 2 là
A. (Q): 2y + z = 0
B. (Q): 2x - z = 0
C. (Q): y - 2z = 0
D. (Q): 2y - z = 0
Đáp án D
Phương pháp: d 2 + r 2 = R 2
Trong đó,
d: khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (P),
r: bán kính đường tròn là giao tuyến của mặt cầu (S)
và mặt phẳng (P),
R: bán kính hình cầu.
Cách giải:
(S): x 2 + y 2 + z 2 - 6 x + 4 y - 2 z + 5 = 0 <=> x - 3 2 + y + 2 2 + z - 1 2 = 9
=> (S) có tâm I(3; –2;1) bán kính R = 3
(Q) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn bán kính r = 2
Ta có:
d
2
+
r
2
=
R
2
Gọi n → a ; b ; c , n → ≠ 0 là một VTPT của (Q). Khi đó n → vuông góc với VTCP n → 1 ; 0 ; 0 của Ox
=>1.a + 0.b +).c = 0 ó a = 0
Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua O(0;0;0) và có VTPT n → 0 ; b ; c , n → ≠ 0 là:
0.(x – 0) + b(y – 0) + c(z – 0) ó by + cz = 0
Khoảng cách từ tâm I đến (Q):
Cho c = –1 => b = 2 => n → 0 ; 2 ; - 1
Phương trình mặt phẳng (Q): 2y - z = 0