Gọi M, N, P theo thứ tự là các tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh SA, SB, SC; D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA, các điểm D, E, F đồng thời cũng là tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh AB, BC, CA.

Ta có: AD = AF $=>\; AB\; =\; AC$

BD = BE$=>$ BC = AB

$=>$ AB = BC = CA

$=>$ \(\Delta ABC\) là tam giác đều (1)

Ta lại có AM = AD; BN = BD = AD

và SM = SN = SP

$=>$ SM + AM = SN + NB

$=>$ SA = SB

Chứng minh tương tự ta có: SA = SB = SC.

Gọi H là chân đường cao của hình chóp kẻ từ đỉnh S, ta có:

\(\Delta SHA=\Delta SHB=\Delta SHC\) => HA = HB = HC

$=>$ H là tâm của tam giác đều ABC (2)

Từ (1) và (2) suy ra hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều.

Giả sử mặt cầu đi qua đỉnh A của hình chóp và tiếp xúc với cạnh SB tại B1, tiếp xúc với cạnh SC tại C 1 . Khi đó mặt cầu cắt cạnh AB, AC lần lượt tại các điểm C 2 ,   B 2 . Mặt phẳng (SAB) cắt mặt cầu đó theo giao tuyến là một đường tròn. Đường tròn này tiếp xúc với SB tại B1 và đi qua A và  C 2

Do đó, ta có: BB 1 2 = BA . BC 2

trong đó 

Do đó 

Vậy

Điều đó chứng tỏ mặt cầu nói trên đi qua trung điểm  C 2  của đoạn AB. Lí luận tương tự ta chứng minh được mặt cầu đó đi qua trung điểm  B 2  của AC.

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA và A’ , B’, C’ là các điểm tiếp xúc của các cạnh bên SA, SB, SC với mặt cầu. Ta có AA’ và AM là hai tiếp tuyến nên AM = AA’. Vì M là trung điểm của AB nên AM = MB.

Mặt khác BM = BB’, ta suy ra AA’ = BB’

Vì SA’ = SB’ nên SA’ + A’A = SB’ + B’B hay SA = SB.

Tương tự, ta chứng minh được SB = SC

Do đó SA = SB = SC.

Mặt khác AB = 2BM = 2BN = BC = 2CN = 2CP = CA

Vậy AB = BC = CA và ABC là một tam giác đều nên là một hình chóp đều. Ta có đường cao kẻ từ S có chân H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC.

Do đó, \(SD=\dfrac{a^2}{2}:a\sqrt{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}\)

và \(AD=SA-SD=\dfrac{3a\sqrt{2}}{4}\)

Gọi giao điểm thứ hai của mặt cầu với đường thẳng SA là D, ta có:

Do đó

Đáp án A.

Gọi O là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp.

Gọi G, H, I, K lần lượt là hình chiều vuông góc của O lên  ta có