Ta có: ∆MNP có PM=PN

=>∆MNP cân tại P

=> góc PMN=góc PNM (dpcm)

\(PN< PM< MN\Rightarrow\widehat{M}< \widehat{N}< \widehat{P}\)

Xét ΔPMN có PM=PN

nen ΔPMN cân tại P

=>góc PMN=góc PNM

Xét ΔPMN có PH là phân giác

nên MH/MP=NH/NP

=>NH/6=2/4=1/2

hay NH=3(cm)

Hình minh họa :)

a) Xét △MNP vuông tại P

=> PM² + PN² = MN² (định li Pytago)

=> PN² = MN² - PM²

=> PN² = 10² - 6²

=> PN² = 64

=> PN = 8

Vậy PN = 8

b) Xét △MNP vuông tại P

=> PM² + PN² = MN² (định li Pytago)

=> PN² = MN² - PM²

=> PN² = 7² - 3²

=> PN² = 40

=> PN = \(\sqrt{40}\)

Vậy PN = \(\sqrt{40}\)

c) Vì MNP cân tại P => PM = PN => PN = 2

Xét △MNP vuông tại P

=> PM² + PN² = MN² (định li Pytago)

=> MN² = 2 . 2²

=> MN² = 8

=> MN = \(\sqrt{8}\)

Vậy MN = \(\sqrt{8}\)

Cách 1: 

Xét ΔMNP có : 

PM = PN ( gt ) 

⇒ ΔMNP cân.

⇒ ^PMN = ^PNM ( t/c Δcân )

Cách 2: 

Từ P kẻ PI là phân giác ^MPN

Vì ΔMPN cân (PM = PN)

=> PI là phân giác đồng thời là trung trực

=> IM = IN

Xét ΔMPI và ΔNPI có:

   PM = PN (gt)

   P₁ = P₂ (PI là pg)

   PI cạnh chung

=> ΔMPI = ΔNPI (c.g.c)

=> ^PMN = ^PNM ( 2 góc tg ứng)

Cách 1: Vẽ PA là tia phân giác của \(\widehat{P}\)

Xét  \(\Delta PMA\)và \(\Delta PNA\)có:

PM=PN (gt)

\(\widehat{MPA}\)=\(\widehat{NPA}\)(vì PA là tia phân giác của \(\widehat{P}\))

PA là cạnh chung

=>\(\Delta MPA=\Delta NPA\)(c.g.c)

=>\(\widehat{PMN}=\widehat{PNM}\)(hai góc tương ứng)

Cách 2: Vẽ A là trung điểm của MN

Xét \(\Delta PMA\)và \(\Delta PNA\)có:

MP=NP (gt)

MA=NA (vì A là trung điểm của MN)

PA là cạnh chung

=>\(\Delta PMA=\Delta PNA\)(c.c.c)

=>\(\widehat{PMN}=\widehat{PNM}\)(hai góc tương ứng)

Vậy .....