+ (O) và (O’) là hai đường tròn bằng nhau

 cùng được căng bởi dây AB

+ (O) có  là góc nội tiếp chắn cung 

+ (O’) có  là góc nội tiếp chắn cung 

Từ (1); (2); và (3) suy ra 

⇒ ΔBMN cân tại B.

Do hai đường tròn bằng nhau nên hai cung nhỏ AB bằng nhau. Vì cùng căng dây AB.

Suy ra = (cùng chắn hai cung bằng nhau) nên tam giác BMN là tam giác cân đỉnh B

a: góc BMA=góc CNA=90 độ

=>MB//NC

=>IK//MB//NC

=>IK vuông góc MN

góc AIK+góc AHK=90+90=180 độ

=>AHIK nội tiếp

b: ΔHMN đồng dạng với ΔABC

=>góc MHN=góc BAC cố định

\(S_{HMN}=\dfrac{1}{2}\cdot HM\cdot HN\cdot sin\widehat{MHN}< =\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot sin\widehat{BAC}\)

Dấu = xảy ra khi MH là đừog kính của (O) và NH là đường kính của (O')

Xét tứ giác ACDB có A,C,D,B cùng nằm trên (O)

nên ACDB là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{CAB}+\widehat{CDB}=180^0\)

mà \(\widehat{CAB}+\widehat{MAC}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{MAC}=\widehat{CDB}=\widehat{MDB}\)

Xét tứ giác AEFB có A,E,F,B cùng nằm trên (O')

nên AEFB là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{BAE}+\widehat{BFE}=180^0\)

mà \(\widehat{BAE}+\widehat{MAE}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{MAE}=\widehat{MFB}\)

Xét ΔMCA và ΔMBD có

\(\widehat{MAC}=\widehat{MDB}\)

\(\widehat{M}\) chung

Do đó: ΔMCA đồng dạng với ΔMBD

=>\(\dfrac{MC}{MB}=\dfrac{MA}{MD}\)

=>\(MC\cdot MD=MA\cdot MB\)(1)

Xét ΔMAE và ΔMFB có

\(\widehat{MAE}=\widehat{MFB}\)

\(\widehat{M}\) chung

Do đó: ΔMAE đồng dạng với ΔMFB

=>\(\dfrac{MA}{MF}=\dfrac{ME}{MB}\)

=>\(MA\cdot MB=MF\cdot ME\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(MC\cdot MD=ME\cdot MF\)

=>\(\dfrac{MC}{MF}=\dfrac{ME}{MD}\)

Xét ΔMCE và ΔMFD có

\(\dfrac{MC}{MF}=\dfrac{ME}{MD}\)

\(\widehat{CME}\) chung

Do đó: ΔMCE đồng dạng với ΔMFD

=>\(\widehat{MCE}=\widehat{MFD}\)

mà \(\widehat{MCE}+\widehat{DCE}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{MFD}+\widehat{DCE}=180^0\)

=>CDFE là tứ giác nội tiếp

(O) và (O') nghe mấy bạn