Chọn C.

Ta có: u_n+1 – u_n = (n + 1)³ + 2(n + 1) – n³ – 2n = 3n² + 3n + 3        

Mặt khác: u_n > 1 và khi n càng lớn thì u_n càng lớn.

Vậy dãy (u_n) là dãy tăng và bị chặn dưới.

Chọn A.

Trước hết ta chứng minh 1 < u_n < 4

Điều này hiển nhiên đúng với n = 1.

Giả sử 1 < u_n < 4, ta có: 

Ta chứng minh (u_n) là dãy tăng

Ta có u₁ < u₂, giả sử u_n-1 < u_n, ∀ n ≤ k.

Khi đó: 

Vậy dãy (u_n)  là dãy tăng và bị chặn.

Đáp án A

Ta có:  u n = 2 ( n + 1 ) − 13 3 ( n + 1 ) − 2 =   2 n − 11 3 n + 1

Xét hiệu: 

u n + 1 − u n = 2 n − 11 3 n + 1 − 2 n − 13 3 n − 2 = ( 2 n − 11 ) . ( 3 n − 2 ) − ( 2 n − 13 ) . ( 3 n + 1 ) ( 3 n + 1 ) ( 3 n − 2 ) = 6 n 2 − 4 n − 33 n + ​ 22 − ( 6 n 2 + ​ 2 n − ​​ 39 n    − 13 ) ( 3 n + 1 ) . ( 3 n − 2 ) = 35 ( 3 n + 1 ) ( 3 n − 2 ) > 0

với mọi n ≥ 1 .

Suy ra u n + 1 > u n    ∀ n ≥ 1 ⇒  dãy ( u n   ) là dãy tăng.

Mặt khác:  u n = 2 3 − 35 3 ( 3 n − 2 ) ⇒ u n < 2 3    ∀ n ≥ 1

Suy ra  u n bị chặn trên

∀ n    ≥ 1    : ​   3 n − 2    ≥ 1    ⇒ 35 3 ( 3 n − 2 )    ≤ 35 3.1 =    35 3 ⇒ u n ≥ 2 3 −    35 3 =    − 11

Nên  ( u n )  bị chặn dưới.

Vậy dãy  ( u n )  là dãy bị chặn.

Chọn đáp án A.

Ta có: u n + 1 − u n = 2 n − 11 3 n + 1 − 2 n − 13 3 n − 2 = 35 ( 3 n + 1 ) ( 3 n − 2 ) > 0  với mọi  n ≥ 1

Suy ra u n + 1 > u n    ∀ n ≥ 1 ⇒  dãy ( u n )  là dãy tăng.

Mặt khác:  u n = 2 3 − 35 3 ( 3 n − 2 ) ⇒ − 11 ≤ u n < 2 3    ∀ n ≥ 1

Vậy dãy ( u n )   là dãy bị chặn.

Chọn đáp án A

Đáp án A

Chọn B.

Ta có:

⇒ u_n+1 > u_n ∀ n ≥ 1 ⇒ dãy (u_n) là dãy số tăng.

u_n >  = n + 1 ≥ 2 ⇒ dãy (u_n) bị chặn dưới.

+ Xét tính tăng giảm.

Với mọi n ∈ N ta có:

⇒ un + 1 < un với mọi n ∈ N.

⇒ (un) là dãy số giảm.

+ Xét tính bị chặn.

un > 0 với mọi n.

⇒ (un) bị chặn dưới.

un ≤ u1 = √2 - 1 với mọi n

⇒ (un) bị chặn trên.

⇒ (un) bị chặn.

\(u_n=\dfrac{1}{1\cdot2}+\dfrac{1}{2\cdot3}+...+\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}\)

\(=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\)

\(=1-\dfrac{1}{n+1}< 1\)

=>Hàm số bị chặn trên tại \(u_n=1\)

\(n+1>=1\)

=>\(\dfrac{1}{n+1}< =1\)

=>\(-\dfrac{1}{n+1}>=-1\)

=>\(1-\dfrac{1}{n+1}>=-1+1=0\)

=>Hàm số bị chặn dưới tại 0

\(u_n=1-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n+1-1}{n+1}=\dfrac{n}{n+1}\)

\(\dfrac{u_n}{u_{n+1}}=\dfrac{n}{n+1}:\dfrac{n+1}{n+2}=\dfrac{n^2+2n}{n^2+2n+1}< 1\)

=>(un) là dãy số tăng