Question

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số ( u n ) , biết:  u n = 2 n − 13 3 n − 2

A. Dãy số tăng, bị chặn

B. Dãy số giảm, bị chặn

C. Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn

D. Cả A, B, C đều sai

Answer 1

Ta có:  u n = 2 ( n + 1 ) − 13 3 ( n + 1 ) − 2 =   2 n − 11 3 n + 1

Xét hiệu: 

u n + 1 − u n = 2 n − 11 3 n + 1 − 2 n − 13 3 n − 2 = ( 2 n − 11 ) . ( 3 n − 2 ) − ( 2 n − 13 ) . ( 3 n + 1 ) ( 3 n + 1 ) ( 3 n − 2 ) = 6 n 2 − 4 n − 33 n + ​ 22 − ( 6 n 2 + ​ 2 n − ​​ 39 n    − 13 ) ( 3 n + 1 ) . ( 3 n − 2 ) = 35 ( 3 n + 1 ) ( 3 n − 2 ) > 0

với mọi n ≥ 1 .

Suy ra u n + 1 > u n    ∀ n ≥ 1 ⇒  dãy ( u n   ) là dãy tăng.

Mặt khác:  u n = 2 3 − 35 3 ( 3 n − 2 ) ⇒ u n < 2 3    ∀ n ≥ 1

Suy ra  u n bị chặn trên

∀ n    ≥ 1    : ​   3 n − 2    ≥ 1    ⇒ 35 3 ( 3 n − 2 )    ≤ 35 3.1 =    35 3 ⇒ u n ≥ 2 3 −    35 3 =    − 11

Nên  ( u n )  bị chặn dưới.

Vậy dãy  ( u n )  là dãy bị chặn.

Chọn đáp án A.