Đáp án A

Ta có:  u n = 2 ( n + 1 ) − 13 3 ( n + 1 ) − 2 =   2 n − 11 3 n + 1

Xét hiệu: 

u n + 1 − u n = 2 n − 11 3 n + 1 − 2 n − 13 3 n − 2 = ( 2 n − 11 ) . ( 3 n − 2 ) − ( 2 n − 13 ) . ( 3 n + 1 ) ( 3 n + 1 ) ( 3 n − 2 ) = 6 n 2 − 4 n − 33 n + ​ 22 − ( 6 n 2 + ​ 2 n − ​​ 39 n    − 13 ) ( 3 n + 1 ) . ( 3 n − 2 ) = 35 ( 3 n + 1 ) ( 3 n − 2 ) > 0

với mọi n ≥ 1 .

Suy ra u n + 1 > u n    ∀ n ≥ 1 ⇒  dãy ( u n   ) là dãy tăng.

Mặt khác:  u n = 2 3 − 35 3 ( 3 n − 2 ) ⇒ u n < 2 3    ∀ n ≥ 1

Suy ra  u n bị chặn trên

∀ n    ≥ 1    : ​   3 n − 2    ≥ 1    ⇒ 35 3 ( 3 n − 2 )    ≤ 35 3.1 =    35 3 ⇒ u n ≥ 2 3 −    35 3 =    − 11

Nên  ( u n )  bị chặn dưới.

Vậy dãy  ( u n )  là dãy bị chặn.

Chọn đáp án A.

Ta có: u n + 1 − u n = 2 n − 11 3 n + 1 − 2 n − 13 3 n − 2 = 35 ( 3 n + 1 ) ( 3 n − 2 ) > 0  với mọi  n ≥ 1

Suy ra u n + 1 > u n    ∀ n ≥ 1 ⇒  dãy ( u n )  là dãy tăng.

Mặt khác:  u n = 2 3 − 35 3 ( 3 n − 2 ) ⇒ − 11 ≤ u n < 2 3    ∀ n ≥ 1

Vậy dãy ( u n )   là dãy bị chặn.

Chọn đáp án A

Xét hiệu:  u n + 1 − u n = 2 n + 1 n + 4 − 2 n − 1 n + 3

= 2 n 2 + 7 n + 3 − 2 n 2 − 7 n + 4 n + 4 n + 3 = 7 n + 4 n + 3 > 0 ; ∀ n ∈ N *

Vậy: ( u n ) là dãy số tăng.

Ta có  u n = 2 n − 1 n + 3 = 2 ( n + 3 ) − 7 n + 3 = 2 − 7 n + 3

 Suy ra: ∀ n ∈ ℕ * , u n < 2  nên   ( u n )  bị chặn trên.

 Vì  ( u n ) là dãy số tăng ∀ n ∈ ℕ * , u 1 = 1 4 ≤ u n  nên  ( u n )  bị chặn dưới. Vậy  ( u n )  bị chặn.

Chọn đáp án C.

Đáp án C

Chọn B.

Trước hết bằng quy nạp ta chứng minh: (u_n) 1 < u_n ≤ 2, ∀ n

Điều này đúng với n = 2, giả sử 1 < u_n < 2 ta có:  nên ta có đpcm.

Mà .

Vậy dãy (u_n) là dãy giảm và bị chặn.

\(u_n=\dfrac{1}{n+1}\Rightarrow u_{n+1}=\dfrac{1}{n+2}\)

\(\Rightarrow u_n-u_{n+1}=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}=\dfrac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}>0\)

\(\Rightarrow u_{n+1}< u_n\Rightarrow\) dãy giảm

Do \(\dfrac{1}{n+1}>0\Rightarrow\) dãy bị chặn dưới bởi 0

\(u_n-1=\dfrac{1}{n+1}-1=-\dfrac{n}{n+1}< 0\Rightarrow u_n< 1\)

\(\Rightarrow\) Dãy bị chặn trên bởi 1

\(\Rightarrow\) Dãy bị chặn

Đáp án A

Chọn B.

Ta có:

⇒ u_n+1 > u_n ∀ n ≥ 1 ⇒ dãy (u_n) là dãy số tăng.

u_n >  = n + 1 ≥ 2 ⇒ dãy (u_n) bị chặn dưới.