Từ PT (1) ta có: y = (a + 1)x – (a + 1) (*) thế vào PT (2) ta được:

x + ( a – 1 ) [ ( a + 1 ) x – ( a + 1 ) ] = 2   x + ( a 2 – 1 ) x – ( a 2 – 1 ) = 2

⇔ a 2 x = a 2 + 1   ( 3 )

Với a ≠ 0, phương trình (3) có nghiệm duy nhất x = a 2 + 1 a 2 . Thay vào (*) ta có:

y = ( a + 1 ) a 2 + 1 a 2 − ( a + 1 ) = a + 1 a 2 + 1 − a 2 a 2 + 1 a 2 = a 3 + a + a 2 + 1 − a 3 − a 2 a 2 = a + 1 a 2  

Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ( x ;   y ) = a 2 + 1 a 2 ; a + 1 a 2

Hệ phương trình có nghiệm nguyên: x ∈ ℤ y ∈ ℤ ⇔ a 2 + 1 a 2 ∈ ℤ a + 1 a 2 ∈ ℤ ( a ∈ ℤ )  

Điều kiện cần: x = a 2 + 1 a 2 = 1 + 1 a 2 ∈ ℤ ⇔ 1 a 2 ∈ ℤ mà a 2 > 0   ⇒ a 2 = 1

⇔ a = ± 1 ( T M   a ≠ 0 )

Điều kiện đủ:

a = −1 ⇒  y = 0  (nhận)

a = 1 ⇒  y = 2  (nhận) 

Vậy a = ± 1 hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên.

Đáp án: D

Mình mạn phép sửa lại phương trình $2$ của bạn là $mx+3y=1$ nhé.

ĐK: $m\neq 0$

a) Khi $m=2,$ hệ phương trình là:

\(\left\{{}\begin{matrix}-4x+y=5\\2x+3y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-4x+y=5\\4x+6y=2\end{matrix}\right.\Rightarrow7y=7\Leftrightarrow y=1\Rightarrow x=-1\)

b) \(\left\{{}\begin{matrix}-2mx+y=5\\mx+3y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2mx+y=5\\2mx+6y=2\end{matrix}\right.\Rightarrow7y=7\Leftrightarrow y=1\Rightarrow x=-\dfrac{2}{m}\)

c) Do ta luôn có $y=1$ là số dương nên chỉ cần chọn $m$ sao cho:

\(x=-\dfrac{2}{m}>0\Leftrightarrow m< 0\)

d) \(x^2+y^2=1\Leftrightarrow\left(-\dfrac{2}{m}\right)^2+1^2=1\Leftrightarrow\dfrac{4}{m^2}=0\) (vô lý)

Vậy không tồn tại $m$ sao cho $x^2+y^2=1.$

a) Hệ phương trình  có nghiệm (1 ; -2) khi và chỉ khi (1;-2) thỏa mãn hệ phương trình. Thay x = 1, y = -2 vào hệ phương trình ta được:

Vậy với a = -4 và b = 3 thì hệ phương trình nhận (1; -2) là nghiệm.

b) Hệ phương trình  có nghiệm (√2 - 1; √2)khi và chỉ khi (√2 - 1; √2)thỏa mãn hệ phương trình.Thay (√2 - 1; √2)vào hệ phương trình ta được:

Thay x = 1; y = −2 vào hệ ta được  2 + b ( − 2 ) = − 4 b − a ( − 2 ) = − 5

Ta coi đây là một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là a và b và giải hệ phương trình này

2 + b ( − 2 ) = − 4 b − a ( − 2 ) = − 5 ⇔ − 2 b = − 6 b + 2 a = − 5 ⇔ b = 3 3 + 2. a = − 5 ⇔ b = 3 a = − 4

Suy ra a + b = −4 + 3 = −1

Đáp án: A

Thay x = 1; y = −2 vào hệ ta được:

2.1 + b . ( − 2 ) = − 1 b .1 − 2 a . ( − 2 ) = 1 ⇔ − 2 b = − 3 b + 4 a = 1 ⇔ b = 3 2 3 2 + 4 a = 1 ⇔ b = 3 2 a = − 1 8 ⇒ a − b = − 13 8

Vậy  a – b = − 13 8

Đáp án: B

Ta có  − a x + y = 3 x + 1 + y = 2

⇔ y = a x + 3 | x + 1 | + a x + 3 = 2 ⇔ y = a x + 3 | x + 1 | + a x + 1 = 0

Nếu x ≥ − 1 ta có x + 1 + ax + 1 = 0 ⇒ x(a + 1) = −2   (1)

Phương trình (1) có nghiệm duy nhất ⇔ a ≠ −1 x = − 2 a + 1 ⇒ y = a + 3 a + 1

  x ≥ − 1 ⇔ − 2 a + 1 ≥ − 1 ⇔ − 2 a + 1 + 1 ≥ 0 ⇔ a − 1 a + 1 ≥ 0 ⇔ a − 1 a + 1 ≥ 0 a ≠ − 1 ⇔ a ≥ 1 a < − 1

Nếu a < −1 ta có –x – 1 + ax + 1 = 0 ⇒ (a – 1)x = 0    (2)

Nếu a = 1 thì (2) là 0x = 0 đúng với mọi x < −1 nên (2) có vô số nghiệm hay hệ đã cho có vô số nghiệm (loại)

Nếu a ≠ 1 thì (2) có nghiệm duy nhất x = 0 (loại so x < −1). Do đó (2) vô nghiệm khi a ≠ 1

Để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì có 2 trường hợp:

Trường hợp 1: Phương trình (1) vô nghiệm và phương trình (2) có nghiệm duy nhất

Trường hợp này không xảy ra vì (2) chỉ có thể vô nghiệm hoặc vô số nghiệm

Trường hợp 2: Phương trình (1) có nghiệm duy nhất và phương trình (2) vô nghiệm  ⇔ a ≥ 1 a < − 1 a ≠ 1 ⇔ a > 1 a < − 1

Đáp án:B

a) Ta có hệ phương trình \(\hept{\begin{cases}kx-y=5\\x+y=1\end{cases}}\) Thay nghiệm \(\left(x,y\right)=\left(2,-1\right)\) ta có hệ mới là :

\(\hept{\begin{cases}2k-1=5\\2-1=1\end{cases}\Leftrightarrow k=3}\)

b) Ta có : \(\hept{\begin{cases}kx-y=5\\x+y=1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=1-x\\kx-1-x=5\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=1-x\\x\left(k-1\right)=6\end{cases}}\)

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất : \(\Leftrightarrow k-1\ne0\) \(\Leftrightarrow k\ne1\)

Để hệ phương trình vô nghiệm \(\Leftrightarrow k-1=0\Leftrightarrow k=1\)

P/s : Em chưa học lớp 9 nên không biết cách trình bày cho lắm :))

\(x^2+2\left(2m-1\right)x+3\left(m^2-1\right)=0\)

\(a,\) Để pt có nghiệm thì \(\Delta\ge0\)

\(\Rightarrow\left[2\left(2m-1\right)\right]^2-4\left[3\left(m^2-1\right)\right]\ge0\)

\(\Rightarrow4\left(4m^2-4m+1\right)-4\left(3m^2-3\right)\ge0\)

\(\Rightarrow16m^2-16m+4-12m^2+12\ge0\)

\(\Rightarrow4m^2-16m+16\ge0\)

\(\Rightarrow\left(2m-4\right)^2\ge0\)

Vậy pt có nghiệm với mọi m.

b, Theo viét : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\left(2m-1\right)\\x_1x_2=3\left(m^2-1\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-4m+2\\x_1x_2=3m^2-3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=\dfrac{-2+x_1+x_2}{4}\\x_1x_2=3\left(\dfrac{-2+x_1+x_2}{4}\right)^2-3\end{matrix}\right.\)

Vậy......