ta dễ thấy 2012²⁰¹² < 2013²⁰¹³

rồi từ đó suy ra thôi

\(2012M=\frac{2012^{2013}}{2013^{2013}}\) 

\(2012M=\frac{2012^{2013}}{2013^{2013}}=\frac{2012}{2013}\) 

=>\(M=\frac{2012}{2013}:2012=\frac{1}{2013}\) 

\(2012N=\frac{2012\left(2012^{2012}+2012\right)}{2013^{2013}+2013}=\frac{2012^{2013}+2012^2}{2013^{2013}+2013}\) 

=>\(N=\frac{2012+2012^2}{2013+2013}:2012=\frac{4050156}{4026}:2012=\frac{1}{2}\) 

=>\(\frac{1}{2013}< \frac{1}{2}\) (vì phân số nào có mẫu bé hơn thì phân số đó lớn hơn)

=> M < N

\(M=\frac{2012}{2013}.\frac{2012^{2011}}{2013^{2011}}\)

\(N=\frac{2012}{2013}.\frac{2012^{2011}+1}{2013^{2011}+1}\)

Bạn tự so sánh tiếp nhé!

Đặt 2012²⁰¹² = x ; 2013²⁰¹³ = y

Giả sử M < N 

Ta có : \(\frac{x}{y}< \frac{x+2012}{y+2013}\)

\(\Leftrightarrow x\left(y+2013\right)< y\left(x+2012\right)\)

\(\Leftrightarrow xy+2013x< xy+2012y\)

\(\Leftrightarrow2013x< 2012y\)

\(\Leftrightarrow2013.2012^{2012}< 2012.2013^{2013}\)

\(\Leftrightarrow2012^{2011}< 2013^{2012}\)( Đúng )

=> Điều giả sử trên là đúng

=> M < N

Ta có (2014^n-2013^)/(2014^n+2013^n) +1 = 2*2014^n/(2014^n+2013^n) chia cả tử và mẫu cho 2014 ta được A= 2/[1+(2013/2014)]

Tương tự (2013^n-2012^)/(2013^n+2012^n) +1 = 2*2013^n/(2013^n+2012^n) chia cả tử và mẫu cho 2013 ta được B= 2/[1+(2012/2013)]

Vì Ta có 2012/2013 < (2012+1)/(2013+1) = 2013/2014 nên A < B

TH1: n = 2k (k thuộc N):

Ta có: (n + 2012²⁰¹³)(n + 2013²⁰¹²) = (2k + 2012²⁰¹³)(2k + 2013²⁰¹²).

Vì: (2k + 2012²⁰¹³) là số chẵn nên suy ra: (2k + 2012²⁰¹³)(2k + 2013²⁰¹²) ⋮ 2    (1)

TH2: n = 2k + 1 (k thuộc N):

Ta có: (n + 2012²⁰¹³)(n + 2013²⁰¹²) = (2k + 1 + 2012²⁰¹³)(2k  + 1 + 2013²⁰¹²).

Vì: (2k + 1 + 2013²⁰¹²) là số chẵn nên suy ra: (2k + 2012²⁰¹³)(2k + 2013²⁰¹²) ⋮ 2    (2)

Từ (1) và (2) suy ra: (n + 2012²⁰¹³)(n + 2013²⁰¹²) ⋮ 2.