Phương pháp

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ x = x 0  là k = f ' x 0 .

Cách giải

Ta có: y ' = 3 x 2 - 2  

Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = 1 là k = 1

Chọn D.

Đường thẳng d đi qua A và có hệ số góc k nên có dạng y= k( x+ 1)   hay

Kx- y+k=0 .

Phương trình hoành độ giao điểm của C  và  d là:

x 3 - 3 x 2 + 4 = k x + k ⇔ ( x + 1 ) ( x 2 - 4 x + 4 - k ) = 0

D cắt tại ba điểm phân biệt khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác -1

⇔ ∆ ' > 0 g ( - 1 ) ≠ 0 ⇔ k > 0 k ≠   9

Khi đó g( x) =0 khi x=2- k ;   x = 2 + k    Vậy các giao điểm của hai đồ thị lần lượt là

A ( - 1 ;   0 ) ; B ( 2 - k ;   3 k - k k ) ; C ( 2 + k ;   3 k + k k ) .

Tính được

B C = 2 k 1 + k 2 , d ( O , B C ) = d ( O , d ) = k 1 + k 2 .

Khi đó 

S ∆ O B C = 1 2 . k k 2 + 1 . 2 k . k 2 + 1 = 1 ⇔ k k = 1 ⇔ k 3 = 1 ⇔ k = 1 .

Vậy k= 1 thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn C.

+Ta có đạo hàm y’ = 3x²- 6mx+ 3( m+ 1)  .

 Do K thuộc ( C)  và có hoành độ bằng -1, suy ra K( -1; -6m-3)

Khi đó tiếp tuyến tại K  có phương trình

∆: y= ( 9m+ 6) x+ 3m+ 3

Đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d

⇒ 3 x + y = 0 ⇔ y = - 3 x ⇔ 9 m + 6 = - 3 3 m + 3 ≠ 0 ⇔ m = - 1 m ≠ - 1

Vậy không tồn tại m thỏa mãn đầu bài.

Chọn D.

Đáp án B

Đồ thị hàm số đi qua điểm A(0;−1) do đó  − 1 = 0 + b 0 − 1 ⇒ b = 1

Tiếp tuyến của đồ thị tại A(0;−1) có hệ số góc bằng -3, do đó  y ' 0 = − 3

⇔ y ' 0 = − a − 1 0 − 1 2 = − 3 ⇔ a = 2

Vậy a+b=3.

Đáp án D

Cách giải: TXĐ: D = R

Gọi  là 2 tiếp điểm

Tiếp tuyến tại M, N của (C) có hệ số góc đều bằng

Theo đề bài, ta có: OB = 2018OA => Phương trình đường thẳng MN có hệ số góc bằng 2018 hoặc – 2018.

TH1: Phương trình đường thẳng MN có hệ số góc là

 là nghiệm của phương trình 

TH2:  MN có hệ số góc là 2018. Dễ đang kiểm rằng : Không có giá trị của thỏa mãn.

Vậy k = 6042