Vì AB // CD, áp dụng định lý Talet, ta có:  O A O C = A B C D = O B O D

=> O A O C = A B C D  ó OA.OD = OB.OC

=> Khẳng định (I) O A O C = A B C D  đúng, khẳng định (II) O B O C = B C A D  sai, khẳng định (III) OA.OD = OB.OC đúng

Vậy có 2 khẳng định đúng.

Đáp án: B

a: AB//CD
=>\(\widehat{DAB}+\widehat{ADC}=180^0\)

mà \(\widehat{DAB}-\widehat{ADC}=60^0\)

nên \(\widehat{ADC}=\dfrac{180^0-60^0}{2}=60^0\)

b: Xét ΔOAB và ΔOCD có

\(\widehat{OAB}=\widehat{OCD}\)

\(\widehat{AOB}=\widehat{COD}\)

Do đó: ΔOAB đồng dạng với ΔOCD

=>\(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}\)

=>OC=OD

OA+OC=AC

OB+OD=BD

mà OA=OB và OC=OD

nên AC=BD

=>ABCD chỉ là hình thang cân thôi chứ không là hình bình hành nha bạn

Để chứng minh OE = OF, ta sẽ sử dụng tính chất của các tam giác đồng dạng.

Vì a//AB và CD, ta có:

∠OAB = ∠OCD (cùng là góc đối)

∠OBA = ∠ODC (cùng là góc đối)

Do đó, tam giác OAB và OCD là hai tam giác đồng dạng (theo góc-góc).

Theo tính chất của các tam giác đồng dạng, tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng là bằng nhau.

Vì vậy, ta có:

OA/OO = OB/OC

OD/OO = OC/OB

Từ đó, ta suy ra:

OA/OO = OD/OO

OA = OD

Vậy, ta có OA = OD.

Do đó, ta có tam giác OAE và ODF là hai tam giác cân (vì OA = OD).

Vì vậy, ta có OE = OF.

Vậy, ta đã chứng minh được OE = OF.

* Ta có: OA = OB nên tam giác OAB cân tại O

* Do OC = OD nên tam giác OCD cân tại O

* vì OA = OB và OC = OD nên OA + OC = OB + OD

Hay AC = BD

Hình thang ABCD có hai đường chéo AC = BD nên đây là hình thang cân.

Suy ra: BC = AD và  B A D ^ =   A B C ^ ;   A D C ^   =   D C B ^

Chọn đáp án D

a: Xét ΔACD và ΔBDC có

AC=BD

AD=BC

CD chung

Do đó: ΔACD=ΔBDC

Suy ra: \(\widehat{ACD}=\widehat{BDC}\)

hay \(\widehat{ODC}=\widehat{OCD}\)

Xét ΔOCD có \(\widehat{ODC}=\widehat{OCD}\)

nên ΔOCD cân tại O

Suy ra: OC=OD

Ta có: OC+OA=AC

OB+OD=BD

mà AC=BD

và OC=OD

nên OA=OB

b) Theo Thales: \(\dfrac{DE}{DC}=\dfrac{AO}{AC};\dfrac{CF}{CD}=\dfrac{BO}{BD}\)

Theo câu a thì \(\dfrac{AO}{AC}=\dfrac{BO}{BD}\) \(\Rightarrow\dfrac{DE}{DC}=\dfrac{CF}{CD}\Rightarrow DE=CF\) (đpcm)

c) Từ \(DE=CF\Rightarrow\dfrac{DE}{EF}=\dfrac{CF}{EF}\)

Mà theo Thales: \(\dfrac{DE}{EF}=\dfrac{IO}{OF};\dfrac{CF}{EF}=\dfrac{JO}{OE}\) 

Do đó \(\dfrac{IO}{OF}=\dfrac{JO}{OE}\) \(\Rightarrow\) IJ//CD//AB

d) Dùng định lý Menelaus đảo nhé bạn. Ta có \(\dfrac{HA}{HD}=\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{OA}{OC}\) nê \(\dfrac{HA}{AD}.\dfrac{OC}{OA}=1\). Do K là trung điểm EF mà \(DE=CF\) nên K cũng là trung điểm CD hay \(\dfrac{KD}{KC}=1\). Do đó \(\dfrac{HA}{AD}.\dfrac{KD}{KC}.\dfrac{OC}{OA}=1\). Theo định lý Menalaus đảo \(\Rightarrow\)H, O, K thẳng hàng (đpcm)

a: Xét ΔOAB và ΔOCD có

\(\widehat{OAB}=\widehat{OCD}\)(hai góc so le trong, AB//CD)

\(\widehat{AOB}=\widehat{COD}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔOAB\(\sim\)ΔOCD

=>\(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}\)

=>\(\dfrac{OC}{OA}=\dfrac{OD}{OB}\)

=>\(\dfrac{OC}{OA}+1=\dfrac{OD}{OB}+1\)

=>\(\dfrac{OC+OA}{OA}=\dfrac{OD+OB}{OB}\)

=>\(\dfrac{AC}{OA}=\dfrac{BD}{OB}\)

=>\(\dfrac{OA}{AC}=\dfrac{OB}{BD}\)(2)

b: Xét ΔCAD có OE//AD

nên \(\dfrac{DE}{DC}=\dfrac{AO}{AC}\)(1)

Xét ΔBDC có OF//BC

nên \(\dfrac{CF}{CD}=\dfrac{BO}{BD}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\dfrac{DE}{DC}=\dfrac{CF}{CD}\)

=>DE=CF