Cho đường tròn (C) và điểm A nằm ngoài mặt phẳng chứa (C). Có tất cả bao nhiêu mặt cầu chứa đường tròn (C) và đi qua A?
A. 0 B. 1
C. 2 D. Vô số
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu P : x 2 + y 2 + z 2 + 4 x + 2 y + z = 0 và Q : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − y − z = 0 cắt nhau theo một đường tròn (C) và cho ba điểm A 1 ; 0 ; 0 , B 0 ; 1 ; 0 , C 0 ; 0 ; 1 . Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa đường tròn (C) và tiếp xúc với cả ba đường thẳng AB, AC, BC?
A. 4 mặt cầu
B. 1 mặt cầu
C. 2 mặt cầu
D. Vô số mặt cầu
Đáp án A
Ba điểm A,B,C tạo thành một tam giác. Có 4 đường tròn tiếp xúc với cả ba đường thẳng AB,AC,BC (hình vẽ trên).
Mặt cầu (S) cần tìm tiếp xúc với 3 đường thẳng AB,AC,BC, do đó nó phải chứa 1 trong 4 đường tròn trên.
Xét với 1 đường tròn bất kì trong 4 đường tròn trên, giả sử là đường tròn tâm (O) nằm bên trong tam giác, ta có:
Tâm I của mặt cầu (S) phải nằm trên đường thẳng d đi qua tâm O và vuông góc với (ABC). Mặt khác, I thuộc mp (P) chứa (C), (C) lại không vuông góc với (ABC) do đó chỉ có 1 giao điểm của d với (P). Tương tự, với 3 đường tròn còn lại, với mỗi đường tròn ta tìm được 1 tâm I nữa. Vậy có 4 mặt cầu thỏa mãn yêu cầu.
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 = 1 cắt mặt phẳng (P): x+2y-2z+1=0 theo giao tuyến là đường tròn (C). Mặt cầu chứa đường tròn (C) và qua điểm A(1;1;1) có tâm là điểm I(a;b;c), giá trị a + b + c bằng
A.0
B. -1
C. -0,5
D. 1.
Cho tam giác ABC đều cạnh a , đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi S là điểm thay đổi trên đường thẳng d , H là trực tâm tam giác SBC. Biết rằng khi điểm S thay đổi trên đường thẳng d thì điểm H nằm trên đường tròn (C). Trong số các mặt cầu chứa đường tròn (C) , bán kính mặt cầu nhỏ nhất là
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu: S 1 = x 2 + y 2 + z 2 + 4 x + 2 y + z = 0 , S 2 = x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - y - z = 0 cắt nhau theo một đường tròn (C) và ba điểm A 1 ; 0 ; 0 , B 0 ; 2 ; 0 và C 0 ; 0 ; 3 . Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa đường tròn (C) và tiếp xúc với ba đường thẳng AB, AC, BC
A. 1 mặt cầu
B. 2 mặt cầu
C. 4 mặt cầu.
D. Vô số mặt cầu.
cho nửa (O) đường kính AB. các đường thẳng d và d' lần lượt đi qua A,B và song song nhau. trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn lấy C thuộc d ( C nằm ngoài nửa đường tròn, C không trùng A). từ C kẻ tiếp tuyến CM ( M là tiếp điểm ) cắt d' tại D. gọi I là trung điểm CD. cmr: S tam giác AOI = S tam giác COI
Cho 2019 điểm trên mặt phẳng. Chứng minh rằng có 1 đường tròn đi qua 1 điểm trong số các điểm trên và chứa 1000 điểm nằm bên trong đường tròn còn lại 1018 điểm nằm ngoài đường tròn
Cho đường tròn (O) . Từ điểm K nằm bên ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến KA, KB tới đường tròn ( .A, B là các tiếp điểm). Trên nửa mặt phẳng bờ KO chứa điểm A, vẽ cát tuyến KCD của đường tròn ( C nằm giữa K và D). Gọi I là trung điểm của CD .
a) Chứng minh bốn điểm K.O,H.B cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh HK là giác của góc AHB.
c) Kẻ đường kính AI. Nối IC và ID cắt KO tại M và N. Chứng minh rằng OM = ON .
a: góc OHK+góc OBK=180 độ
=>OHKB nội tiếp
b: góc AHK=góc AOK
góc BHK=góc BOK
mà góc AOK=góc BOK
nên góc AHK=góc BHK
=>HK là phân giác của góc AHB
Cho đường tròn (O) . Từ điểm K nằm bên ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến KA, KB tới đường tròn ( .A, B là các tiếp điểm). Trên nửa mặt phẳng bờ KO chứa điểm A, vẽ cát tuyến KCD của đường tròn ( C nằm giữa K và D). Gọi I là trung điểm của CD .
a) Chứng minh bốn điểm K.O,H.B cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh HK là giác của góc AHB.
c) Kẻ đường kính AI. Nối IC và ID cắt KO tại M và N. Chứng minh rằng OM = ON .
Cho đường tròn (O) bán kính R, một đường thẳng d không đi qua O cắt (O) tại A và B. Trên d lấy điểm C sao cho A nằm giữa C và B. Từ C kẻ hai tiếp tuyến CM; CN với (O) (M và N là 2 tiếp điểm sao cho M và O nằm trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa đường thẳng AB). a) Chứng minh : Bốn điểm C; M; O; N cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh : CM2 = CA. CB c) Đoạn CO cắt đoạn MN tại H. Chứng minh CH. CO = CA. CB và góc CHA bằng góc OAB d) Đường thẳng vuông góc với CO tại O cắt các tia CM và CN thứ tự tại E và F. Xác định vị trí của C trên đường thẳng d để diện tích tam giác CEF nhỏ nhất.
a: Xét tứ giác CMON có \(\widehat{CMO}+\widehat{CNO}=90^0+90^0=180^0\)
nên CMON là tứ giác nội tiếp
=>C,M,O,N cùng thuộc một đường tròn
b: Xét (O) có
\(\widehat{CMA}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến MC và dây cung MA
\(\widehat{ABM}\) là góc nội tiếp chắn cung AM
Do đó: \(\widehat{CMA}=\widehat{ABM}=\widehat{CBM}\)
Xét ΔCMA và ΔCBM có
\(\widehat{CMA}=\widehat{CBM}\)
\(\widehat{MCA}\) chung
Do đó: ΔCMA~ΔCBM
=>\(\dfrac{CM}{CB}=\dfrac{CA}{CM}\)
=>\(CM^2=CA\cdot CB\)
c: Xét (O) có
CM,CN là các tiếp tuyến
Do đó: CM=CN
=>C nằm trên đường trung trực của MN(1)
Ta có: OM=ON
=>O nằm trên đường trung trực của MN(2)
Từ (1),(2) suy ra OC là đường trung trực của MN
=>OC\(\perp\)MN tại H
Xét ΔCMO vuông tại M có MH là đường cao
nên \(CH\cdot CO=CM^2\)
=>\(CH\cdot CO=CA\cdot CB\)
=>\(\dfrac{CH}{CB}=\dfrac{CA}{CO}\)
Xét ΔCHA và ΔCBO có
\(\dfrac{CH}{CB}=\dfrac{CA}{CO}\)
\(\widehat{HCA}\) chung
Do đó: ΔCHA~ΔCBO
=>\(\widehat{CHA}=\widehat{CBO}\)
mà \(\widehat{CBO}=\widehat{OAB}\)(ΔOAB cân tại O)
nên \(\widehat{CHA}=\widehat{OAB}\)