2x−3y/5=5y−2z/3=3z−5x/2=10x-15y/25=15y-6z/9=6z-10x/4=...+..+..../25+9+4=0/31=0

=> 2x=3y;  5y=2z ;  3z=5x => x/3=y/2; y/2=z/5

=> x/3=y/2 =z/5 = 12x/36=5y/10=3z/15= (12x+5y-3z)/31

      x/3 = 3y/6=2z/10 = (x-3y+2z)/7

=>  (12x+5y-3z)/ (x-3y+2z)=31/7

help me ai nhanh nhất mik tích cho

a) Ta có: \(\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2021}>\left(\dfrac{3}{4}\right)^1=\dfrac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2021}+1>\dfrac{3}{4}+1\)

Câu 1:

\(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2=x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}+\frac{255}{256x^2y^2}+2\)

\(\ge\frac{1}{8}+2+\frac{255}{256x^2y^2}\)

Ta lại có: \(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\Leftrightarrow1\ge16x^2y^2\)

\(\Rightarrow M\ge\frac{17}{8}+\frac{255}{16}=\frac{289}{16}\)

Dấu = xảy ra khi x=y=1/2

Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz: \(\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\right)\ge\frac{1}{3x+3y+2z}\)

CMTT rồi cộng vế với vế ta có.\(VT\le\frac{1}{16}\cdot4\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)=\frac{3}{2}\)

Dấu = xảy ra khi x=y=z=1

\(\text{Từ }\frac{3x-2y}{5}=\frac{5y-3z}{2}=\frac{2z-5x}{3}\)

\(\Rightarrow\frac{15x-10y}{25}=\frac{10y-6z}{4}=\frac{6z-15x}{9}\left(\text{nhân cả tử và mẫu của mỗi phân số với chính mẫu số của phân số đó}\right)\)

\(\text{Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau: }\)

\(\frac{15x-10y}{25}=\frac{10y-6z}{4}=\frac{6z-15x}{9}=\frac{\left(15x-10y\right)+\left(10y-6z\right)+\left(6z-15x\right)}{25+4+9}=\frac{15x-10y+10y-6z+6z-15x}{38}=\frac{\left(15x-15x\right)-\left(10y-10y\right)-\left(6z-6z\right)}{38}=\frac{0}{38}=0\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{15x-10y}{25}=0\\\frac{10y-6z}{4}=0\\\frac{6z-15x}{9}=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}15x-10y=0\\10y-6z=0\\6z-15x=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}15x=10y\\10y=6z\\6z=15x\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{10}=\frac{y}{15}\\\frac{y}{6}=\frac{z}{10}\\\frac{z}{15}=\frac{x}{6}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{20}=\frac{y}{30}\left(1\right)\\\frac{y}{30}=\frac{z}{50}\left(2\right)\\\frac{z}{15}=\frac{x}{6}\end{matrix}\right.\)

\(\text{Từ (1) và (2)}\Rightarrow\frac{x}{20}=\frac{y}{30}=\frac{z}{50}\)

\(\Rightarrow\frac{10x}{200}=\frac{3y}{90}=\frac{2z}{100}\)

\(\text{Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:}\)

\(\frac{10x}{200}=\frac{3y}{90}=\frac{2z}{100}=\frac{10x-3y-2z}{200-90-100}=\frac{-4}{10}=\frac{-2}{5}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{20}=\frac{-2}{5}\\\frac{y}{30}=\frac{-2}{5}\\\frac{z}{50}=\frac{-2}{5}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-8\\y=-12\\z=-20\end{matrix}\right.\)

\(\text{Vậy }x=-8,y=-12,z=-20\)

Má mày giúp tao bài tao gửi đii:(

Ta có bất đẳng thức: với \(x,y>0\)

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)

Dấu \(=\)khi \(x=y\).

Áp dụng bất đẳng thức trên ta được: 

\(\frac{1}{2x+3y+3z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{2y+2z}\right)\le\frac{1}{4}\left[\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{y+z}\right)\right]\)

\(=\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)+\frac{1}{8}\left(\frac{1}{y+z}\right)\)

Tương tự với \(\frac{1}{3x+2y+3z},\frac{1}{3x+3y+2z}\)sau đó cộng lại vế với vế ta được: 

\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)=3\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{8}\)