thtfgfgfghggggggggggggggggggggg

\(n^3+100=n^2.\left(n+10\right)-10n^2+100\)

\(=n^2.\left(n+10\right)-10n.\left(n+10\right)+100n+100\)

\(=n^2.\left(n+10\right)-10n.\left(n+10\right)+100.\left(n+10\right)-900\)

\(=\left(n+10\right).\left(n^2-10n+100\right)-900\)

Để n³+100 chia hết cho n+10 => -900 chia hết cho n+10 => n+10 thuộc Ư(900)

Vì n lớn nhất => n+10 lớn nhất => n+10=900 => n=890

Vậy n=890

Xét a là một số tự nhiên bất kỳ. Dễ thấy, nếu a chia hết cho 3 => a³ chia hết cho 9 (1)

Xét: \(a\equiv1\left(mod9\right)\Rightarrow a^3\equiv1\left(mod9\right)\)(2)

\(a\equiv2\left(mod9\right)\Rightarrow a^3\equiv8\left(mod9\right)\)(3)

\(a\equiv4\left(mod9\right)\Rightarrow a^3\equiv64\equiv1\left(mod9\right)\)(4)

\(a\equiv5\left(mod9\right)\Rightarrow a^3\equiv125\equiv8\left(mod9\right)\)(5)

\(a\equiv7\left(mod9\right)\Rightarrow a^3\equiv343\equiv1\left(mod9\right)\)(6)

\(a\equiv8\left(mod9\right)\Rightarrow a^3\equiv512\equiv8\left(mod9\right)\)(7)

Từ (1),(2),(3),(4),(5),(6),(7) => lập phương của 1 số nguyên bất kỳ khi chia cho 9 có số dư là 0,1,8

Dễ thấy: để a³+b³+c³ chia hết cho 9 => 1 trong 3 số a,b,c hoặc cả 3 số a,b,c phải chia hết cho 3 => 

=> abc chia hết cho 3. Vậy a³+b³+c³ chia hết cho 9 thì abc chia hết cho 3

\(a\text{)}\)

\(A=x^2+4x-5=\left(x-1\right)\left(x+5\right)\)

\(\text{Nếu }x\text{ là số tự nhiên lẻ thì }x=2n+1\text{ (}n\in N\text{ )}\)
\(\text{Khi đó: }A=\left(2n+1-1\right)\left(2n+1+5\right)=2n.\left(2n+6\right)=4n\left(n+3\right)\)

+ \(n\text{ chẵn thì }n\left(n+3\right)\text{ chẵn }\Rightarrow n\left(n+3\right)\text{chia hết cho 2 }\Rightarrow4n\left(n+3\right)\text{ chia hết cho 8}\)

+ \(n\text{ lẻ thì }n+3\text{ chẵn }\Rightarrow n\left(n+3\right)\text{ chia hết cho 2 }\Rightarrow4n\left(n+3\right)\text{ chia hết cho 8}\)

Ta có đpcm.

\(\text{b)}\)

\(x^2+65=y^2\)\(\Rightarrow y^2-x^2=65\Leftrightarrow\left(y+x\right)\left(y-x\right)=65.1=13.5\)

\(\text{Do }x,y\text{ nguyên nên }y+x;y-x\text{ nguyên}\)

\(\text{Mà }y+x>y-x>0\text{ nên ta có:}\)

\(\text{+TH1: }y+x=65\text{ và }y-x=1\Leftrightarrow x=32;y=33\)

\(\text{+TH2:}y+x=13\text{ và }y-x=5\Leftrightarrow x=4;y=9\)

\(\text{Vậy }x\in\left\{4;32\right\}\text{ thì }x^2+65\text{ là số chính phương.}\)

#)Giải :

Đặt \(A=a^2+b^2+c^2\)

Do tích a.b chẵn nên ta xét các trường hợp :

TH1 : Trong a và b có 1 số chẵn và 1 số lẻ 

Giả sử a là số chẵn, còn b là số lẻ 2

=> a² chia hết cho 4; b² chia 4 dư 1 => a² + b² chia 4 dư 1

=> a² + b² = 4m + 1 (m thuộc N)

Chon c = 2m => a² + b² + c² = 4m² + 4m + 1 = (2m + 1)² (thỏa mãn) (1)

TH2 : Cả a,b cùng chẵn 

=> a² + b² chia hết cho 4 => a² + b² = 4n (n thuộc N)

Chọn c = n - 1 => a² + b² + c² = n² + 2n + 1 = (n + 1)² (thỏa mãn) (2)

Từ (1) và (2) => Luôn tìm được số nguyên c thỏa mãn đề bài 

Do a, b là số chẵn nên ta xét 2 trường hợp:

TH₁: a chẵn, b lẻ => a² + b² = 4m + 1, khi đó chọn c có dạng 2m ta luôn có a² + b² + c² = 4m² + 4m + 1 = (2m + 1)² (ĐPCM)

TH₂ : a, b chẵn => a² + b² = 4n, khi đó chọn c có dạng n-1 ta luôn có a² + b² + c² = n² + 2n + 1 = (n+1)² (ĐPCM)

đặt 2n + 34 = a^2

34 = a^2-n^2

34=(a-n)(a+n)

a-n thuộc ước của 34 là { 1; 2; 17; 34} và a-n . Ta có bảng sau ( mik ko bt vẽ)

=>     a-n        1        2 

         a+n        34      17

        Mà tổng và hiệu 2 số nguyên cùng tính chẵn lẻ

      Vậy ....

Ta cóS = 14 +24 +34 +···+1004 không là số chính phương.

=>  S= (1004+14).100:2=50 900 ko là SCP

2: A=n^2+3n+2=(n+1)(n+2)

Để A là số nguyên tố thì n+1=1 hoặc n+2=2

=>n=0