Ta có: \(2\left(m^2+n^2\right)-1=2\left(m^2+n^2+2mn\right)-1-4mn=2\left(m+n\right)^2-1-4mn\)

\(=2\left[\left(m+n\right)^2-1\right]-4mn+1=2\left(m+n-1\right)\left(m+n+1\right)-4mn+1-4m^2-4m+4m^2+4m\)

\(=2\left(m+n+1\right)\left(-m+n-1\right)+\left(2m+1\right)^2\)

Suy ra \(\left(2m+1\right)^2⋮\left(m+n+1\right)\)mà \(m+n+1\)nguyên tố nên \(2m+1⋮m+n+1\)

do \(m,n\)nguyên dương suy ra \(2m+1\ge m+n+1\Leftrightarrow m\ge n\).

Một cách tương tự ta cũng suy ra được \(n\ge m\).

Do đó \(m=n\).

Khi đó \(mn=m^2\)là một số chính phương. 

thank you

:3 Số 'm' phải là số lẻ nhé cậu 

Ta có : \(1+2+...+2017=\frac{2017.\left(2017+1\right)}{2}=2017.1009\)

Đặt \(S=\left(1^m+2^m+...+2017^m\right)\)

Ta có : \(S=\left(1^m+2017^m\right)+\left(2^m+2016^m\right)+......\)

Do m lẻ nên \(S⋮2018=1009.2⋮1009\)

Vậy \(S⋮1009\)

Mặt khác ta lại có 

\(S=\left(1^m+2^m+...+2017^m\right)=\left(1^m+2016^m\right)+\left(2^m+2015^m\right)+.....+2017^m\)   \(⋮2017\)

=> \(S⋮2017\)

Mà (1009,2017) = 1 

=> \(S⋮2017.1009=......\)