Cho tam giác ABC chứng minh rằng:
Nếu \(\widehat{A}< 90^o\)thì \(a^2=b^2+c^2-2bc.\cos A\)
Nếu \(\widehat{A}\ge90^o\)thì \(a^2=b^2+c^2+2bc.\cos\left(B+C\right)\)
Những câu hỏi liên quan
Cho tam giác ABX, đường phân giác AD. Biết AB=c, AC=b, \(\widehat{A}=2\alpha;\left(\alpha< 45^o\right)\). Chứng minh \(AD=\frac{2bc.\cos\alpha}{b+c}\)
a) Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông với góc A nhọn và widehat C ge widehat B. Vẽ đường cao CD và đặt tên các độ dài như trong Hình 1.Hãy thay ? bằng các chữ cáu thích hợp để chứng minh công thức {a^2} {b^2} + {c^2} - 2bccos A theo gợi ý sau:Xét tam giác vuông BCD, ta có: {a^2} {d^2} + {(c - x)^2} {d^2} + {x^2} + {c^2} - 2xc (1)Xét tam giác vuông ACD, ta có: {b^2} {d^2} + {x^2} Rightarrow {d^2} {b^2} - {x^2} (2)cos A frac{?}{b} Rightarrow ? bcos A. (3) ...
Đọc tiếp
a) Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông với góc A nhọn và \(\widehat C \ge \widehat B.\) Vẽ đường cao CD và đặt tên các độ dài như trong Hình 1.
Hãy thay ? bằng các chữ cáu thích hợp để chứng minh công thức \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\) theo gợi ý sau:
Xét tam giác vuông BCD, ta có: \({a^2} = {d^2} + {(c - x)^2} = {d^2} + {x^2} + {c^2} - 2xc\) (1)
Xét tam giác vuông ACD, ta có: \({b^2} = {d^2} + {x^2} \Rightarrow {d^2} = {b^2} - {x^2}\) (2)
\(\cos A = \frac{?}{b} \Rightarrow ? = b\cos A.\) (3)
Thay (2) và (3) vào (1), ta có: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)
Lưu ý: Nếu \(\widehat B > \widehat C\) thì ta vẽ đường cao BD và chứng minh tương tự.
b) Cho tam giác ABC với góc A tù. Làm tương tự như trên, chứng minh rằng ta cũng có:
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)
Lưu ý: Vì A là góc tù nên \(\cos A = - \frac{x}{b}.\)
c) Cho tam giác ABC vuông tại A. Hãy chứng tỏ coogn thức \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\) có thể viết là \({a^2} = {b^2} + {c^2}.\)
a) ? = x vì \(\cos A = \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{x}{b} \Rightarrow ? = x.\)
b) Xét tam giác vuông BCD, ta có: \({a^2} = {d^2} + {(c + x)^2} = {d^2} + {x^2} + {c^2} + 2xc\) (1)
Xét tam giác vuông ACD, ta có: \({b^2} = {d^2} + {x^2} \Rightarrow {d^2} = {b^2} - {x^2}\) (2)
\(\cos A = - \cos \widehat {DAC} = - \frac{x}{b} \Rightarrow x = - b\cos A.\) (3)
Thay (2) và (3) vào (1), ta có: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)
c) Ta có: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)
Mà \(\widehat A = {90^o} \Rightarrow \cos A = \cos {90^o} = 0.\)
\( \Rightarrow {a^2} = {b^2} + {c^2}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:a) Nếu (a+b+c).(b+c-a)3bc thì widehat{A}60^ob) Nếu frac{b^3+c^3-a^3}{b+c-a}a2 thì widehat{A}60^oc) Nếu cos.(A+C)+3.cosB1 thì widehat{B}60^od) Nếu b.(b2-a2)c.(a2-c2) thì widehat{A}60^o
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a) Nếu (a+b+c).(b+c-a)=3bc thì \(\widehat{A}=60^o\)
b) Nếu \(\frac{b^3+c^3-a^3}{b+c-a}\)=a2 thì \(\widehat{A}=60^o\)
c) Nếu cos.(A+C)+3.cosB=1 thì \(\widehat{B}=60^o\)
d) Nếu b.(b2-a2)=c.(a2-c2) thì \(\widehat{A}=60^o\)
Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh rằng:
a) \(\cos \widehat {AMB} + \cos \widehat {AMC} = 0\)
b) \(M{A^2} + M{B^2} - A{B^2} = 2.MA.MB.\cos \widehat {AMB}\) và \(M{A^2} + M{C^2} - A{C^2} = 2.MA.MC.\cos \widehat {AMC}\)
c) \(M{A^2} = \frac{{2\left( {A{B^2} + A{C^2}} \right) - B{C^2}}}{4}\) (công thức đường trung tuyến).
Tham khảo:
a) Ta có: \(\widehat {AMB} + \widehat {AMC} = {180^o}\)
\( \Rightarrow \cos \widehat {AMB} = - \cos \widehat {AMC}\)
Hay \(\cos \widehat {AMB} + \cos \widehat {AMC} = 0\)
b) Áp dụng định lí cos trong tam giác AMB ta có:
\(\begin{array}{l}A{B^2} = M{A^2} + M{B^2} - 2MA.MB\;\cos \widehat {AMB}\\ \Leftrightarrow M{A^2} + M{B^2} - A{B^2} = 2MA.MB\;\cos \widehat {AMB}\;\;(1)\end{array}\)
Tương tự, Áp dụng định lí cos trong tam giác AMB ta được:
\(\begin{array}{l}A{C^2} = M{A^2} + M{C^2} - 2MA.MC\;\cos \widehat {AMC}\\ \Leftrightarrow M{A^2} + M{C^2} - A{C^2} = 2MA.MC\;\cos \widehat {AMC}\;\;(2)\end{array}\)
c) Từ (1), suy ra \(M{A^2} = A{B^2} - M{B^2} + 2MA.MB\;\cos \widehat {AMB}\;\)
Từ (2), suy ra \(M{A^2} = A{C^2} - M{C^2} + 2MA.MC\;\cos \widehat {AMC}\;\)
Cộng vế với vế ta được:
\(2M{A^2} = \left( {A{B^2} - M{B^2} + 2MA.MB\;\cos \widehat {AMB}} \right)\; + \left( {A{C^2} - M{C^2} + 2MA.MC\;\cos \widehat {AMC}} \right)\;\)
\( \Leftrightarrow 2M{A^2} = A{B^2} + A{C^2} - M{B^2} - M{C^2} + 2MA.MB\;\cos \widehat {AMB} + 2MA.MC\;\cos \widehat {AMC}\)
Mà: \(MB = MC = \frac{{BC}}{2}\) (do AM là trung tuyến)
\( \Rightarrow 2M{A^2} = A{B^2} + A{C^2} - {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} + 2MA.MB\;\cos \widehat {AMB} + 2MA.MB\;\cos \widehat {AMC}\)
\( \Leftrightarrow 2M{A^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.{\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} + 2MA.MB\;\left( {\cos \widehat {AMB} + \;\cos \widehat {AMC}} \right)\)
\( \Leftrightarrow 2M{A^2} = A{B^2} + A{C^2} - {\frac{{BC}}{2}^2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow M{A^2} = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - {{\frac{{BC}}{2}}^2}}}{2}\\ \Leftrightarrow M{A^2} = \frac{{2\left( {A{B^2} + A{C^2}} \right) - B{C^2}}}{4}\end{array}\) (đpcm)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cách 2:
Theo ý a, ta có: \(\cos \widehat {AMC} = - \cos \widehat {AMB}\)
Từ đẳng thức (1): suy ra \(\cos \widehat {AMB} = \frac{{M{A^2} + M{B^2} - A{B^2}}}{{2.MA.MB}}\)
\( \Rightarrow \cos \widehat {AMC} = - \cos \widehat {AMB} = - \frac{{M{A^2} + M{B^2} - A{B^2}}}{{2.MA.MB}}\)
Thế \(\cos \widehat {AMC}\)vào biểu thức (2), ta được:
\(M{A^2} + M{C^2} - A{C^2} = 2MA.MC.\left( { - \frac{{M{A^2} + M{B^2} - A{B^2}}}{{2.MA.MB}}} \right)\)
Lại có: \(MB = MC = \frac{{BC}}{2}\) (do AM là trung tuyến)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow M{A^2} + {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} - A{C^2} = 2MA.MB.\left( { - \frac{{M{A^2} + M{B^2} - A{B^2}}}{{2.MA.MB}}} \right)\\ \Leftrightarrow M{A^2} + {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} - A{C^2} = - \left( {M{A^2} + M{B^2} - A{B^2}} \right)\\ \Leftrightarrow M{A^2} + {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} - A{C^2} + M{A^2} + {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} - A{B^2} = 0\\ \Leftrightarrow 2M{A^2} - A{B^2} - A{C^2} + {\frac{{BC}}{2}^2} = 0\\ \Leftrightarrow 2M{A^2} = A{B^2} + A{C^2} - {\frac{{BC}}{2}^2}\\ \Leftrightarrow M{A^2} = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - {{\frac{{BC}}{2}}^2}}}{2}\\ \Leftrightarrow M{A^2} = \frac{{2\left( {A{B^2} + A{C^2}} \right) - B{C^2}}}{4}\end{array}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
cho tam giác ABC có BC=a;CA=b;AB=c. chứng minh rằng:
a) Nếu b2<a2 + c2 thì \(\widehat{B}< 90^o\)
b) Nếu b2>a2 + c2 thì \(\widehat{B}>90^o\)
c) Nếu b2=a2 + c2 thì\(\widehat{B}=90^o\)
Cho tam giác ABC,\(\widehat{A}\)=2\(\alpha\)(\(\alpha\)<\(45^o\)),AB=c,AC=b,phân giác AD.Chứng minh rằng AD=\(\frac{2bc.\cos\alpha}{b+c}\)
HELP
Cho tam giác ABC nhọn có AB = c , AC = b , BC =a . Chứng minh rằng : \(a^2=b^2+c^2-2bc.\cos A\)
14 tháng 1 2022 lúc 9:27
Đố: Cho Delta ABC, biết BCa,ACb,ABc,widehat{A}alpha,widehat{B}beta,widehat{C}gamma chứng minh:a)frac{a}{sinalpha}frac{b}{sinbeta}frac{c}{singamma} b) a^2b^2+c^2-2bccosalphac) frac{a-b}{a+b}frac{tanleft[frac{1}{2}left(alpha-betaright)right]}{tanleft[frac{1}{2}left(alpha+betaright)right]} d) Biết sfrac{a+b+c}{2}. Chứng minh frac{cotfrac{alpha}{2}}{s-a}frac{cotfrac{beta}{2}}{s-b}frac{cotfrac{gamma}{2}}{s-c}
Đọc tiếp
Đố: Cho \(\Delta ABC\), biết \(BC=a,AC=b,AB=c,\widehat{A}=\alpha,\widehat{B}=\beta,\widehat{C}=\gamma\) chứng minh:
a)\(\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}\) b) \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha\)
c) \(\frac{a-b}{a+b}=\frac{\tan\left[\frac{1}{2}\left(\alpha-\beta\right)\right]}{\tan\left[\frac{1}{2}\left(\alpha+\beta\right)\right]}\)
d) Biết \(s=\frac{a+b+c}{2}\). Chứng minh \(\frac{\cot\frac{\alpha}{2}}{s-a}=\frac{\cot\frac{\beta}{2}}{s-b}=\frac{\cot\frac{\gamma}{2}}{s-c}\)
Cho \(\bigtriangleup\)ABC, đường cao BH.Đặt BC=a,CA=b,AB=c,AH=c'.
C/m
a) Nếu \(\widehat{A}\) \(<\) 90 độ thì \(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc'\)
b) Nếu \(\widehat{A}\) \(>\) 90 độ thì \(a^{2}=b^{2}+c^{2}+2bc'\)