Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho 2 bộ số \(\left(\sqrt{ax},\sqrt{by},\sqrt{cz}\right)\) và \(\left(\sqrt{\frac{a}{x}};\sqrt{\frac{b}{y}};\sqrt{\frac{c}{z}}\right)\)có:

\(\left(ax+by+cz\right)\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right)\ge\left(\sqrt{ax}.\sqrt{\frac{a}{x}}+\sqrt{by}.\sqrt{\frac{b}{y}}+\sqrt{cz}.\sqrt{\frac{c}{z}}\right)^2\)

Suy ra \(\left(ax+by+cz\right)\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)(1)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z\), tức là M cách đều BC,CA,AB hay M là tâm nội tiếp \(\Delta\)ABC

Ta có \(2S_{ABC}=2S_{BMC}+2S_{CMA}+2S_{AMB}=ax+by+cz\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2S_{ABC}}=const\)

Vậy Min \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2S_{ABC}}\). Đạt được khi M là tâm nội tiếp \(\Delta\)ABC.

Dựng bên ngoài tam giác ABC tam giác ABD đều.

Vẽ tam giác AME đều sao cho D, E nằm cùng phía so với AM.

Dễ thấy \(\Delta AED=\Delta AMB\left(c.g.c\right)\).

Suy ra ED = MB.

Ta có \(MA+MB+MC=ME+ED+MC\ge CD\) không đổi.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M thuộc CD và \(\widehat{AMD}=60^o\).

a) giao điểm của các đường phân giác 

b) M≡T (điểm T được gọi là điểm Toricenli của tam giác ABC).

hoặc  M≡B

nếu bạn nói M trùng B thì phải nói rõ điều kiện đặt cho 3 cạnh của tam giác

góc \(B\ge120\)

Có S_ABC= S_AMB  + S_AMC = 1/2. MH. AB + 1/2. MK. AC = 1/2.AB.(MH+MK)= số không đổi

mà AB không đổi ==> tổng MH + MK không đổi khi M di động trên BC