a) \(\left(5n+7\right)\left(4n+6\right)\)

\(=\left(5n+7\right)4n+\left(5n+7\right)6\)

\(=20n^2+28n+30n+32\)

\(=20n^2+58n+32\)

Vì \(20n^2⋮2\) ; \(58n⋮2\) ; \(32⋮2\) nên \(\left(5n+7\right)\left(4n+6\right)⋮2\)

b) \(\left(8n+1\right)\left(6n+5\right)\)

\(=\left(8n+1\right)6n+\left(8n+1\right)5\)

\(=48n^2+6n+40n+5\)

\(=48n^2+46n+5\)

Vì \(\left(48n^2+46n\right)⋮2\) mà \(5⋮̸2\) nên \(\left(8n+1\right)\left(6n+5\right)⋮̸2\)

c) \(n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n-1+n-2\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Với \(\forall n\in N\), tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6 nên \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮6\) và \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮6\)

Vậy \(n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)⋮6\)

Bài 2 gọi hai số chẵn đó là 2a và 2a+2
ta có 2a(2a+2)=4a^2+4a=4a(a+1)
vì a và a+1 là hai số liên tiếp nên trong hai số này sẽ có ,ột số chia hết cho 2
Suy ra 4a(a+1)chia hết cho 8
Bài 3 n^3-3n^2-n+3=n^2(n-3)-(n-3) 
                            =(n-3)(n^2-1)
                            =(n-3)(n-1)(n+1)

Do n lẻ nên ta thay n=2k+1ta được (2k-2)2k(2k+2)=2(k-1)2k2(k+1)
                                                                         =8(k-1)k(k+1)

vì k-1,k,k+1laf ba số nguyên liên tiếp mà tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 6
8.6=48 Vậy n^3-3n^2-n+3 chia hết cho 8 với n lẻ

Bài 4 n^5-5n^3+4n=n(n^4-5n^2+4)=n(n^1-1)(n^2-4)
                           =n(n+1)(n-1)(n-2)(n+2)là tích của 5 số nguyên liên tiếp 
Trong 5 số nguyên liên tiếp có ít nhất hai số là bội của 2 trong đó có một số là bội của 4
một bội của 3 một bội của 5 do đó tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 2.3.4.5=120

à thôi mn khỏi phải giải, mk làm đc r

cậu chỉ ra mk xem cách giải cái  bài này nghĩ ma k ra  ak?

tự chứng minh n³+5n=n³-n+6n=(n-1)n(n+1)+6n chia hết cho 6

phần còn lại là 2²ⁿ⁺¹-2=4ⁿ.2-2=2(4ⁿ-1) chia hết cho 2.3(=6) 

->đfcm

\(\left(5n-1\right)\left(n+3\right)-9n+3=5n^2+15n-n-3-9n+3=5n^2+5n=5n\left(n+1\right)⋮5\)

Mà n(n+1) là tích 2 số nguyên liên tiếp => \(n\left(n+1\right)⋮2\)

\(\Rightarrow5n\left(n+1\right)⋮5.2=10\) (đpcm)

\(\left(5n-1\right)\left(n+3\right)-9n+3\)

\(=5n^2+15n-n-3-9n+3\)

\(=5n^2+5n=5n\left(n+1\right)⋮5\)

Lại có \(n\left(n+1\right)⋮2\)

\(\Rightarrow5n^2+5n⋮\left(2.5\right)=10\)

\(\RightarrowĐPCM\)

(5n-2)²-4=(5n-2-2)(5n-2+2)=(5n-4).5n chia hết cho 5

=>dpcm

\(\left(5n-2\right)^2-4=25n^2-20n+4-4=25n^2-20n=5n\left(5n-4\right)\)chia hết cho 5.

Vậy (5n2 -2)² -4 chia hết cho 5 (đpcm)

\(\left(5n-2\right)^2-4\) = ( 5n - 2 - 2 ) ( 5n - 2 + 2 ) = ( 5n - 4 ) . 5 nchia hết cho 5 .

\(\Rightarrow\)dpcm