Mn ghi đầy đủ GT, KL với vẽ hình hộ mình nha

Qua I vẽ đường thẳng vuông góc với CI cắt AC. BC lần lượt tại M, N. Khi đó CM=CN, IM=IN.

Ta chứng minh được \(\widehat{AIB}=180-\widehat{BAI}-\widehat{ABI}=180-\frac{BAC}{2}-\frac{ABC}{2}=\frac{360-\left(ABC+BÃC\right)}{2}\)

\(=\frac{360-180+ACB}{2}=90+\frac{ACB}{2}\)

\(AMI=180-CMN=180-\frac{180-ACB}{2}=\frac{360-180+ACB}{2}=90+\frac{ACB}{2}\)

Chứng minh tương tự ta cũng có: \(BNI=90+\frac{ACB}{2}\)

Từ đó suy ra: \(\Delta AIB\infty\Delta AMI\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{AI}{AM}=\frac{AB}{AI}\Rightarrow AI^2=AB.AM\Rightarrow\frac{AI^2}{AB.AC}=\frac{AM}{AC}\) 

\(\Delta AIB\infty\Delta INB\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{BI}{IN}=\frac{AB}{BN}\Rightarrow BI^2=AB.BN\Rightarrow\frac{BI^2}{AB.BC}=\frac{BN}{BC}\)

\(\Delta AMI\infty\Delta INB\Rightarrow\frac{AM}{IN}=\frac{IM}{BN}\Rightarrow AM.BN=IM.IN=IM^2\)

Áp dụng định lí Py- ta-go vào tam gác ICM ta có:

\(IM^2+CI^2=CM^2\Rightarrow BN.AM+CI^2=CM.CN\Rightarrow BN.AM+CN.AM+CI^2=CM.CN+CN.AM\)

\(\Rightarrow BC.AM+CI^2=CN.AC\Rightarrow BC.AM+CI^2+AC.BN=CN.AC+AC.BN\)

\(\Rightarrow BC.AM+BN.AC+CI^2=AC.BC\Rightarrow\frac{AM}{AC}+\frac{BN}{BC}+\frac{CI^2}{AC.BC}=1\)

\(\Rightarrow\frac{AI^2}{AB.AC}+\frac{BI^2}{BA.BC}+\frac{CI^2}{CA.CB}=1\)

Đây nhé

Ta có hình vẽ :

Xét tam giác BHC' và tam giác BAB' có : Góc B chung

Góc BC'H = góc BB'A ( = 90 độ )

=> Tam giác BHC' \(\sim\) Tam giác BAB' ( g.g )

=> \(\frac{HB}{AB}=\frac{BC'}{BB'}\)

\(\Rightarrow\frac{HB.HC}{AB.AC}=\frac{BC'.HC}{BB'.AC}=\frac{S_{BHC}}{S_{ABC}}\) ( 1 )

Tương tự : \(\frac{HA.HB}{BC.AC}=\frac{HA.A'B}{BC.AA'}=\frac{S_{AHB}}{S_{ABC}}\)

\(\frac{HC.HA}{BC.AB}=\frac{HC.AC'}{AB.CC'}=\frac{S_{AHC}}{S_{ABC}}\) ( 2 )

Từ ( 1 ) ; ( 2 ) => ĐPCM