Ta có : \(\left(5x+5y+5z\right)^2-\left(25xy+25yz+25zx\right)\)

\(=25\left(\left(x+y+z\right)^2-\left(xy+yz+zx\right)\right)\)

Xét : \(\left(x+y+z\right)^2-\left(xy+yz+zx\right)=0\)

\(=>x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx-xy-yz-zx=0\)

\(=>x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx=0\)

Nhân biểu thức với 2 ta được:

\(2x^2+2y^2+2z^2+2xy+2yz+2zx=0\)

\(=>\left(x+y\right)^2+\left(y+z\right)^2+\left(z+x\right)^2=0\)

\(=>x+y=y+z=z+x=0\)

Vạy để phân thức A xác định thì x,y,z không đồng thời bằng 0;

CHÚC BẠN HỌC TỐT...

AM-Gm đyyyyy

Giả sử P đạt min khi x=a=z>0; b=y>0; c=t>0. Khi đó bx=bz=ay; cx=cz=at và ta nghĩ đến việc sử dụng BĐT AM-GM như sau:

\(abxy\le\frac{b^2x^2+a^2y^2}{2}\left(1\right);abyz\le\frac{a^2y^2+b^2z^2}{2}\left(2\right);aczt\le\frac{c^2z^2+a^2t^2}{2}\left(3\right);actx\le\frac{a^2t^2+c^2x^2}{2}\left(4\right)\)

Từ (1);(2); (3) và (4) suy ra:

\(abcxy\le\frac{c\left(b^2x^2+a^2y^2\right)}{2}\left(5\right);abcyz\le\frac{c\left(a^2y^2+b^2z^2\right)}{2}\left(6\right);abczt\le\frac{b\left(a^2z^2+a^2t^2\right)}{2}\left(7\right);abctx\le\frac{b\left(a^2t^2+c^2x^2\right)}{2}\left(8\right)\)

Cộng các bất đẳng thức (5) (6) (7) (8) theo vế ta được

\(abc=abc\left(xy+yz+zt+tx\right)\le\)\(\frac{c\left(b^2x^2+a^2y^2\right)+c\left(a^2y^2+b^2z^2\right)+b\left(a^2z^2+a^2t^2\right)+b\left(a^2t^2+c^2x^2\right)}{2}=\frac{\left(b^2c+bc^2\right)\left(x^2+z^2\right)+2a^2cy^2+2a^2bt^2}{2}\)

tức \(\left(b^2c+bc^2\right)\left(x^2+z^2\right)+2a^2cy^2+2a^2bt^2\ge2abc\left(9\right)\)

Như vậy để tìm minP cần tìm các số a,b,c theo tỉ lệ thích hợp sao cho hệ số x²;y²;t² chia nhau theo tỉ lệ 5:4:1

\(\frac{b^2c+bc^2}{5}=\frac{2a^2c}{4}=\frac{2a^2b}{1}\)

Mặt khác, ta có bất đẳng thức xảy ra khi x=z=a;y=b;c=t mà theo giả thiết xy+yz+zt+tx=1 nên phải có ab+bc+ca+ac=1

Và như vậy ta đưa được bài toán về việc giải hệ phương trình \(\hept{\begin{cases}\frac{bc\left(b+c\right)}{5}=\frac{a^2c}{2}=2a^2b\\a\left(b+c\right)=\frac{1}{2}\end{cases}}\)(*)

Giải hệ này ta tìm được \(a=\frac{1}{\sqrt[4]{50}};b=\frac{1}{\sqrt[4]{200}};c=\frac{1}{\sqrt[4]{200}}\)khi đó bất đẳng thức (9) trở thành

\(10a^2b\left(x^2+z^2\right)+8a^2by^2+2a^2b^2t^2\ge2abc\)

\(\Rightarrow P=5x^2+5z^2+4y^2+t^2\ge\frac{2abc}{2a^2b}=\frac{c}{a}=\frac{4}{\sqrt[4]{4}}=2\sqrt{2}\)

Vì vậy ta có đẳng thức xảy ra khi \(x=z=a=\frac{1}{\sqrt[4]{50}};b=y=\frac{1}{\sqrt[4]{200}};c=t=\frac{1}{\sqrt[4]{200}}\)

Mình quên yêu cầu bài 2: Tìm GTNN GTLN của x.

yêu cầu bài 2 Tìm giá trị min max của x

áp dụng bđt bunhia đê 

\(yz\le\frac{\left(y+z\right)^2}{4}\Rightarrow\frac{x^2\left(y+z\right)}{yz}\ge\frac{4x^2}{y+z}\)

Do đó \(P\ge\frac{4x^2}{y+z}+\frac{4y^2}{z+x}+\frac{4z^2}{x+y}\ge\frac{4\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=2\)(Vì x+y+z = 1)

Vậy Min P= 2. Dấu "=" có <=> x = y = z = 1/3.