Đường tròn tâm \(I\left(1;-1\right)\) bán kính \(R=5\)

\(\overrightarrow{IM}=\left(1;-2\right)\Rightarrow IM=\sqrt{5}< R\)

\(\Rightarrow\) M nằm trong đường tròn

Do M là trung điểm AB, theo tính chất đường tròn \(\Rightarrow IM\perp AB\)

\(\Rightarrow\) Đường thẳng d nhận \(\left(1;-2\right)\) là 1 vtpt

Phương trình d:

\(1\left(x-2\right)-2\left(y+3\right)=0\Leftrightarrow x-2y-8=0\)

Đáp án A

Đường tròn (C) có tâm 

Do đó:

 ở trong đường tròn.

Để A là trung điểm của  

là vectơ pháp tuyến của d nên d  có phương trình: -1 (x+ 4) + 1.( y-2) =0

Hay x- y + 6= 0.

Đường tròn tâm \(I\left(1;-1\right)\) bán kính \(R=5\)

\(\overrightarrow{IN}=\left(6;4\right)\Rightarrow IN=2\sqrt{13}>R\Rightarrow N\) nằm ngoài đường tròn

Theo tính chất phương tích:

\(NE.NF=IN^2-R^2=27\)

\(\Rightarrow3NF^2=27\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}NF=3\\NE=9\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow EF=6\)

\(\Rightarrow d\left(I;EF\right)=\sqrt{R^2-\left(\frac{EF}{2}\right)^2}=4\)

Gọi phương trình d có dạng \(a\left(x-7\right)+b\left(y-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow ax+by-7a-3b=0\)

\(d\left(I;d\right)=4\Leftrightarrow\frac{\left|a-b-7a-3b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=4\)

\(\Leftrightarrow\left|3a+2b\right|=2\sqrt{a^2+b^2}\)

\(\Leftrightarrow9a^2+12ab+4b^2=4a^2+8ab+4b^2\)

\(\Leftrightarrow5a^2+4ab=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\\5a=-4b\end{matrix}\right.\) chọn \(\left(a;b\right)=\left(4;-5\right)\)

Có 2 đường thẳng thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}y-3=0\\4x-5y-13=0\end{matrix}\right.\)

Đáp án D

Gọi d  là đường thẳng qua M có véc tơ chỉ phương:

- Đường tròn (C₁) tâm I₁ (1;1) và R₁= 1

  Đường tròn (C₂) : tâm I₂( -2;0) và R₂= 3

- Nếu d cắt  (C₁) tại A :

- Nếu d cắt (C₂)  tại B:

- Theo giả thiết: MA= 2 MB nên MA²= 4 MB² (*)

- Ta có :

ĐÁP ÁN D

Đường tròn (C) có  tâm I( -1; 3).

Do đường thẳng ∆ qua M cắt đường tròn tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của AB nên    I M    ⊥ Δ ( quan hệ vuông góc đường kính và dây cung).

Đường thẳng ∆: đi qua  M(-2; 1) và nhận   M I → (    1   ;     2 )  làm VTPT nên có phương trình là :

1. (x + 2) +  2(y – 1) = 0 hay x+ 2y  = 0

Đề của sở hả bạn ? ( hình như bài này còn cách khác nữa ...) 

Đường tròn (C) tâm \(I\left(1;1\right)\) bán kính \(R=4\)

\(\overrightarrow{IA}=\left(1;-1\right)\Rightarrow IA=\sqrt{2}\) (chà, rắc rối rồi, do \(\dfrac{IA}{R}< \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) nên tam giác IMN không bao giờ có thể vuông được)

Ta có: \(S_{\Delta IMN}=\dfrac{1}{2}IM.IN.sin\widehat{MIN}=\dfrac{1}{2}R^2.sin\widehat{MIN}\)

\(\Rightarrow S_{IMN-max}\) khi \(sin\widehat{MIN}\) đạt max

Gọi H là trung điểm MN \(\Rightarrow IH\perp MN\Rightarrow IH\le IA\)

Do vai trò M, N là như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử M, H nằm cùng phía so với A

\(cos\widehat{MIH}=\dfrac{IH}{IM}\le\dfrac{IA}{IM}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\Rightarrow\widehat{MIH}\ge69^018'\) (do \(0< \widehat{MIH}\le90^0\) nên  \(cos\widehat{MIH}\) nghịch biến so với \(\widehat{MIH}\))

\(\Rightarrow\widehat{MIN}=2\widehat{MIH}>90^0\Rightarrow sin\widehat{MIN}\) nghịch biến so với \(\widehat{MIN}\)

\(\Rightarrow sin\widehat{MIN}_{max}\) khi \(\widehat{MIN}_{min}\)

Lại có: \(\widehat{MIN}=180^0-2.\widehat{IMH}\Rightarrow\widehat{MIN}_{min}\) khi \(\widehat{IMH}_{max}\)

\(\Rightarrow sin\widehat{IMH}_{max}\) (\(0\le\widehat{IMH}\le90^0\) nên \(sin\widehat{IMH}\) và \(\widehat{IMH}\) đồng biến)

\(sin\widehat{IMH}=\dfrac{IH}{IM}\le\dfrac{IA}{IM}\Rightarrow sin\widehat{IMH}_{max}\) khi H trùng A

Hay \(S_{\Delta IMN-max}\) khi H trùng A \(\Leftrightarrow d\perp IA\)

\(\Rightarrow d\) nhận (1;-1) là 1 vtpt

Phương trình d: \(1\left(x-2\right)-y=0\Leftrightarrow x-y-2=0\)

bvtiv