\(x^2+y^2+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2\ge2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2xy+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2\ge2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2\left(xy+1\right)+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-\frac{2\left(x+y\right)\left(xy+1\right)}{\left(x+y\right)}+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-\frac{xy+1}{x+y}\right)^2\ge0\) (đúng)

Vậy ...

Theo Cauche ta có:

\(\left(x+y\right)^2+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2\ge2\left(x+y\right).\frac{1+xy}{x+y}=2\left(1+xy\right)=2+2xy\)

<=> \(x^2+y^2+2xy+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2\ge2+2xy\)

<=> \(x^2+y^2+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2\ge2+2xy-2xy=2\)=> ĐPCM

Đặt \(z=-\frac{1+xy}{x+y}\) ta có \(xy+yz+zx=-1\) và BĐT trở thành

\(x^2+y^2+z^2\ge2\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge-2\left(xy+yz+zx\right)\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )

Vậy BĐT được chứng minh.

Trần Hải An sai nhé: ne6u1xy+yz+zx<0 thì nhân vào 2 phải đổi dấu BĐT

ak mà cũng có thể đúng v~

Xét \(\frac{x}{y^3-1}+\frac{y}{x^3-1}=\frac{1-y}{y^3-1}+\frac{1-x}{x^3-1}=-\frac{1}{x^2+x+1}-\frac{1}{y^2+y+1}\)

\(=-\frac{x^2+y^2+x+y+2}{\left(x^2+x+1\right)\left(y^2+y+1\right)}=-\frac{x^2+y^2+3}{x^2y^2+xy\left(x+y\right)+x^2+y^2+xy+x+y+1}\)

\(=-\frac{\left(x+y\right)^2-2xy+3}{x^2y^2+x^2+y^2+2xy+2}=-\frac{4-2xy}{x^2y^2+3}=\frac{2\left(xy-2\right)}{x^2y^2+3}\)

từ đó ta có đpcm

x y + ( 1 + x 2 ) ( 1 + y 2 ) = 1 ⇔ ( 1 + x ) 2 ( 1 + y ) 2 = 1 − x y ⇒ ( 1 + x 2 ) ( 1 + y 2 ) = 1 - x y 2 ⇔ 1 + x 2 + y 2 + x 2 y 2 = 1 − 2 x y + x 2 y 2 ⇔ x 2 + y 2 + 2 x y = 0 ⇔ x + y 2 = 0 ⇔ y = − x ⇒ x 1 + y 2 + y 1 + x 2 = x 1 + x 2 − x 1 + x 2 = 0