b: Ta có: ΔBAC cân tại A

mà AM là đường phân giác

nên M là trung điểm của BC

Tam giác ABC có AB = AC (gt) => tam giác ABC cân tại A

=> tia phân giác góc A là AM vuông góc với cạnh BC (trong 1 tam giác cân, tia phân giác góc ở đỉnh cũng là đường vuông góc với cạnh đáy của tam giác đó) (khúc này nếu thầy bạn không có dạy thì nhắn tin cho mình để mình chứng minh vuông góc bằng hai tam giác bằng nhau)

Ta có: IH vuông góc BC (gt) (1)

          AM vuông góc BC (cmt) (2)

=> Từ (1)(2) suy ra: IH // AM (cùng vuông góc với BC)

=> góc BIH = góc BAM (đồng vị)

Mà góc BAM = 2 lần góc BAC (do tia AM là tia phân giác)

=> góc BIH = 2 lần góc BAC

Vậy góc BIH = 2 lần góc BAC

a: Xét ΔABM và ΔACM có

AB=AC

\(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\)

AM chung

Do đó: ΔABM=ΔACM

a) Xét \(\Delta AMB\)và \(\Delta AMC\)có:

          AB = AC (gt)

          \(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\)(AM là tia phần giác của góc A)

          AM là cạnh chung

\(\Rightarrow\Delta AMB=\Delta AMC\left(c.g.c\right)\)

b) Ta có: \(\Delta AMB=\Delta AMC\)(theo a)

\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\)(2 góc tương ứng)

Mà \(\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^o\)(2 góc kề bù)

\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=90^o\)

\(\Rightarrow AM\perp BC\)

Lại có: \(IH\perp BC\Rightarrow AM//IH\)

\(\Rightarrow\widehat{BIH}=\widehat{BAM}\)(2 gó so le trong)

Mà \(\widehat{BAM}=\frac{1}{2}\cdot\widehat{BAC}\)(AM là tia p/g của góc A)

\(\Rightarrow\widehat{BIH}=\frac{1}{2}\cdot\widehat{BAC}\)

hay \(\widehat{BAC}=2\widehat{BIH}\)

Lời giải:

a) Vì $M$ là trung điểm của $BC$ nên $BM=CM$

Xét tam giác $ABM$ và $ACM$ có:

$AB=AC$ (giả thiết)

$AM$ chung

$BM=CM$ (cmt)

$\Rightarrow \triangle ABM=\triangle ACM$ (c.c.c)

b) 

Từ tam giác bằng nhau phần a suy ra $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$ hay $\widehat{BAK}=\widehat{CAK}$

Xét tam giác $BAK$ và $CAK$ có:

$BA=CA$ (gt)

$AK$ chung

$\widehat{BAK}=\widehat{CAK}$ (cmt)

$\Rightarrow \triangle BAK=\triangle CAK$ (c.g.c)

$\Rightarrow KB=KC$ 

c) Từ tam giác bằng nhau phần b suy ra $\widehat{ABK}=\widehat{ACK}$

hay $\widehat{EBK}=\widehat{FCK}$

Xét tam giác $EBK$ và $FCK$ có:

$\widehat{EBK}=\widehat{FCK}$ (cmt)

$BK=CK$ (cmt)

$\widehat{EKB}=\widehat{FKC}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow \triangle EBK=\triangle FCK$ (g.c.g)

$\Rightarrow EK=FK$ nên tam giác $KEF$ cân tại $K$

$\Rightarrow \widehat{KEF}=\frac{180^0-\widehat{EKF}}{2}(1)$

$KB=KC$ nên tam giác $KBC$ cân tại $K$

$\Rightarrow \widehat{KCB}=\frac{180^0-\widehat{BKC}}{2}(2)$

Từ $(1);(2)$ mà $\widehat{EKF}=\widehat{BKC}$ (đối đỉnh) nên $\widehat{KEF}=\widehat{KCB}$ 

Hai góc này ở vị trí so le trong nên $EF\parallel CB$ (đpcm)

Hình vẽ: