a: Xét tứ giác AEMD có 

AE//MD

AD//ME

Do đó: AEMD là hình bình hành

a: Xét tứ giác ADME có

góc ADM=góc AEM=góc DAE=90 độ

nên ADME là hình chữ nhật

b: Xét tứ giác AMBP có

D là trung điểm chung của AB và MP

MA=MB

Do đó: AMBP là hình thoi

=>ABlà phân giác của góc MAP(1)

c: Xét tứ giác AMCQ có

E là trung điểm chung của AC và MQ

MA=MC

Do đó: AMCQ là hình thoi

=>AC là phân giác của góc MAQ(2)

Từ (1), (2) suy ra góc PAQ=2*90=180 độ

=>P,A,Q thẳng hàng

mà AP=AQ

nên A là trung điểm của PQ

a) Xét ΔAMF có 

AE là đường cao ứng với cạnh MF(\(AE\perp MF\))

AE là đường trung tuyến ứng với cạnh MF(E là trung điểm của MF)

Do đó: ΔAMF cân tại A(Định lí tam giác cân)

hay AM=AF(1)

Xét ΔCFM có 

CE là đường cao ứng với cạnh MF(\(CE\perp MF\))

CE là đường trung tuyến ứng với cạnh MF(E là trung điểm của MF)

Do đó: ΔCFM cân tại C(Định lí tam giác cân)

hay CM=CF(2)

Vì ΔABC vuông tại A(gt) có AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(M là trung điểm của BC)

nên \(AM=\dfrac{BC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

mà \(CM=BM=\dfrac{BC}{2}\)(M là trung điểm của BC)

nên AM=CM=BM(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra AM=AF=CF=CM=BM

Xét tứ giác AMCF có AM=CM=CF=FA(cmt)

nên AMCF là hình thoi(Dấu hiệu nhận biết hình thoi)

b)

Sửa đề: Tìm điều kiện của ΔABC để tứ giác AMCF là hình vuông

Hình thoi AMCF trở thành hình vuông khi  \(\widehat{AMC}=90^0\)

hay \(AM\perp BC\)

Xét ΔABC có 

AM là đường cao ứng với cạnh BC(\(AM\perp BC\))

AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(M là trung điểm của BC)

Do đó: ΔABC cân tại A(Định lí tam giác cân)

hay AB=AC

Vậy: Khi ΔABC có thêm điều kiện AB=AC thì AMCF trở thành hình vuông

c)

Ta có: MD\(\perp\)AB(gt)

AC\(\perp\)AB(ΔABC vuông tại A)

Do đó: MD//AC(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)

Xét ΔABC có 

M là trung điểm của BC(gt)

MD//AC(cmt)

Do đó: D là trung điểm của AB(Định lí 1 đường trung bình của tam giác)

Xét ΔABC có 

M là trung điểm của BC(gt)

D là trung điểm của AB(cmt)

Do đó: MD là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

nên \(MD=\dfrac{AC}{2}\)(Định lí 2 đường trung bình của tam giác)(1)

Ta có: \(ME\perp AC\)(gt)

\(AB\perp AC\)(ΔABC vuông tại A)

Do đó: ME//AB(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)

Xét ΔABC có 

M là trung điểm của BC(gt)

ME//AB(cmt)

Do đó: E là trung điểm của AC(Định lí 1 đường trung bình của tam giác)

nên \(CE=\dfrac{AC}{2}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra MD=CE

Xét tứ giác CMDE có 

MD//CE(MD//AC)

MD=CE(cmt)

Do đó: CMDE là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

nên Hai đường chéo CD và EM cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(Định lí hình bình hành)

mà I là trung điểm của EM(gt)

nên I là trung điểm của CD(đpcm)

a) ta có : tam giác ABC vuông tại A

=> BAC = 90 độ (1)

 có : MD vuông góc AB

=> MDA = 90 độ (2)

Ta có : ME vuông góc AC

=> MEA = 90 độ (3)

Từ (1)(2)(3) => ADME là hình chữ nhật

a: Xét tứ giác AMHK có

góc AMH=góc AKH=góc KAM=90 độ

=>AMHK là hình chữ nhật

=>AH=MK

b: Xét ΔAHD có

AB vừa là đường cao, vừa là trung tuyến

nên ΔAHD cân tại A

=>AH=AD và AB là phân giác của góc HAD(1)
Xét ΔHEA có

AC vừa là đường cao, vừa là trung tuyến

nên ΔAHE cân tại A

=>AH=AE và AC là phân giác của góc HAE(2)

Từ (1), (2) suy ra góc DAE=2*90=180 độ

=>D,A,E thẳng hàng

mà AD=AE

nên A là trung điểm của DE

c: Xét ΔAHB và ΔADB có

AH=AD

góc HAB=góc DAB

AB chung

=>ΔAHB=ΔADB

=>góc ADB=90 dộ

=>BD vuông góc DE(3)

Xét ΔAHC và ΔAEC có

AH=AE

góc HAC=góc EAC

AC chung

=>ΔAHC=ΔAEC

=>goc AEC=90 độ

=>CE vuông góc ED(4)

Từ (3), (4) suy ra BD//CE

a: Xét tứ giác AMDN có

\(\widehat{AMD}=\widehat{AND}=\widehat{MAN}=90^0\)

Do đó: AMDN là hình chữ nhật

b: AC=8cm

\(S_{ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}=\dfrac{8\cdot6}{2}=24\left(cm^2\right)\)

c: Ta có: D và E đối xứng nhau qua AB

nên AD=AE

=>ΔADE cân tại A

mà AB là đường trung trực

nên AB là tia phân giác của góc DAE(1)

Ta có: D và F đối xứng nhau qua AC

nên AC là đường trung trực của DF

=>AD=AF

=>ΔADF cân tại A

mà AC là đường trung trực của DF

nên AC là tia phân giác của góc DAF(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{FAE}=2\cdot\left(\widehat{BAD}+\widehat{CAD}\right)=2\cdot90^0=180^0\)

Do đó: F,A,E thẳng hàng