m và n là số tự nhiên => m , n ≥ 0 

p là số nguyên tố 

Thỏa mãn \(\frac{p}{m-1}=\frac{m+n}{p}\) <=> p² = ( m – 1 ).( m + n ) 

Do ( m – 1 ) và ( m + n ) là các ước nguyên dương của p²

Chú ý : m – 1< m + n (1) 

Do p là số nguyên tố nên p² chỉ có các ước nguyên dương là 1, p và p² (2) 

Từ (1) và (2) ta có m – 1 = 1 và m + n = p². Khi đó m = 2 và tất nhiên 2 + n = p²

Vậy p² = n + 2 (Đpcm).

m và n là số tự nhiên => m , n ≥ 0 
p là số nguyên tố 
Thỏa mãn p/m−1 =m+n/p  <=> p² = ( m – 1 )( m + n ) 
Do ( m – 1 ) và ( m + n ) là các ước nguyên dương của p²
Chú ý : m – 1< m + n ( 1 ) 
Do p là số nguyên tố nên p² chỉ có các ước nguyên dương là 1, p và p² ( 2 ) 
Từ ( 1 ) và ( 2 ) ta có m – 1 = 1 và m + n = p².
Khi đó m = 2 và tất nhiên 2 + n = p²
Do đó A = p² - n = 2

m và n là số tự nhiên => m , n ≥ 0 
p là số nguyên tố 
. . . . . . . . . . . p. . . . . . .m + n 
Thỏa mãn ————– = ———– <=> p² = ( m – 1 )( m + n ) 
. . . . . . . . . .m – 1. . . . . . .p 
Do ( m – 1 ) và ( m + n ) là các ước nguyên dương của p² 
Chú ý : m – 1< m + n ( * ) 
Do p là số nguyên tố nên p² chỉ có các ước nguyên dương là 1, p và p² ( ** ) 

Từ ( * ) và ( ** ) ta có m – 1 = 1 và m + n = p². Khi đó m = 2 và tất nhiên 2 + n = p² . 
 

m và n là số tự nhiên => m , n ≥ 0 
p là số nguyên tố 
. . . . . . . . . . . p. . . . . . .m + n 
Thỏa mãn ————– = ———– <=> p² = ( m – 1 )( m + n ) 
. . . . . . . . . .m – 1. . . . . . .p 
Do ( m – 1 ) và ( m + n ) là các ước nguyên dương của p² 
Chú ý : m – 1< m + n ( * ) 
Do p là số nguyên tố nên p² chỉ có các ước nguyên dương là 1, p và p² ( ** ) 

Từ ( * ) và ( ** ) ta có m – 1 = 1 và m + n = p². Khi đó m = 2 và tất nhiên 2 + n = p² . 

điều kiên tồn tại vt >0=> m > 1

=> \(p^2=\left(m+n\right)\left(m-1\right)\left(1\right)\)

vt là bp số nguyên tố nên vp xảy ra các TH

TH1:\(p=\left(m+n\right)=\left(m-1\right)=>n=-1\)( loại n là số tự nhiên)

Th2: một trong 2 số phải bằng 1 có m>1 => m+n>1

=> m-1=1 => m=2

=>\(p^2=\left(n+2\right)\left(2-1\right)=n+2\left(dpcm\right)\)