a) Để chứng minh ABDC là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng các cạnh đối diện của nó bằng nhau và các góc trong của nó bằng 90 độ.

Ta có:

- AM là trung tuyến của tam giác ABC, nên AM = MC.

- AM = MD (theo giả thiết), nên MD = MC.

- AH là đường cao của tam giác ABC, nên góc AMH = 90 độ.

Vậy ta có AM = MC, MD = MC và góc AMH = 90 độ.

Từ đó, ta có thể kết luận rằng ABDC là hình chữ nhật với các cạnh đối diện bằng nhau và các góc trong bằng 90 độ.

b) Để chứng minh AEHF là hình vuông, ta cần chứng minh rằng các cạnh của nó bằng nhau và các góc trong của nó bằng 90 độ.

Ta có:

- AE là chân đường vuông góc từ H xuống AB, nên góc AEH = 90 độ.

- AF là chân đường vuông góc từ H xuống AC, nên góc AFH = 90 độ.

- AH là đường cao của tam giác ABC, nên góc AMH = 90 độ.

Vậy ta có góc AEH = góc AFH = góc AMH = 90 độ.

Từ đó, ta có thể kết luận rằng AEHF là hình vuông với các cạnh bằng nhau và các góc trong bằng 90 độ.

c) Để chứng minh EF vuông góc với AM, ta cần chứng minh rằng góc giữa EF và AM bằng 90 độ.

Ta có:

- AE là chân đường vuông góc từ H xuống AB, nên góc AEH = 90 độ.

- AF là chân đường vuông góc từ H xuống AC, nên góc AFH = 90 độ.

Vậy ta có góc AEH = góc AFH = 90 độ.

Do đó, EF song song với AB (do AE và AF là các đường vuông góc với AB và AC), và vì AM là trung tuyến của tam giác ABC, nên EF vuông góc với AM.

Từ đó, ta có thể kết luận rằng EF vuông góc với AM.

giúp mình với

Xét tứ giác ADHE, ta có:

∠ A = 90 0  (gt)

∠ (ADH) =  90 0  (vì HD ⊥ AB)

∠ (AEH) =  90 0  (vì HE ⊥ AC)

Suy ra tứ giác ADHE là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông).

+ Xét ∆ ADH và  ∆ EHD có :

DH chung

AD = EH ( vì ADHE là hình chữ nhật)

∠ (ADN) =  ∠ (EHD) =  90 0

Suy ra:  ∆ ADH =  ∆ EHD (c.g.c)

⇒  ∠ A 1 =  ∠ (HED)

Lại có:  ∠ (HED) +  ∠ E 1 =  ∠ (HEA) =  90 0

Suy ra:  ∠ E 1 +  ∠ A 1 =  90 0

∠ A 1 = ∠ A 2 (chứng minh trên) ⇒  ∠ E 1 +  ∠ A 2 =  90 0

Gọi I là giao điểm của AM và DE.

Trong  ∆ AIE ta có:  ∠ (AIE) = 180o – ( ∠ E 1 +  ∠ A 2 ) = 180 0  -  90 0  =  90 0

Vậy AM ⊥ DE.