Gọi M là trung điểm BC thì A,G,M thẳng hàng và AG=2GM

Từ B,C vẽ 2 đường thẳng song song với EF cắt AM lần lượt tại D và N

Ta có:

\(\frac{AE}{BE}+\frac{CF}{AF}=\frac{DG}{AG}+\frac{NG}{AG}\)

CMĐ: \(\Delta BDM=\Delta CNM\left(gcg\right)\)

=> DM=MN

Do GD+NG=DG+DG+CM+MN=(DG+DM)+(GM+MN)=2(DM+DM)=2GM=AG

Do đó

\(\frac{BE}{AE}+\frac{CF}{AF}=\frac{DG}{AG}+\frac{NG}{AG}=\frac{DG+NG}{AG}=\frac{AG}{AG}=1\)

Gọi M là trung điểm BC

EF cắt BC tại I,khôg mất tíh tổg quát giả sử I nằm trên tia đối tia CB

áp dụg Menelauyt cho 3 điểm thẳg hàg E, G, I thuộc các đ thẳg chứa 3 cạh t/g ABM

\(\frac{EB}{EA}\times\frac{GA}{GM}\times\frac{IM}{IB}=1\)

\(\frac{EB}{EA}=\frac{1}{2}\times\frac{IB}{IM}\)

áp dụg Menelauyt cho 3 điểm thẳg hàg F, G, I thuộc các đ thẳg chứa 3 cạh t/g ACM

\(\frac{FC}{FA}\times\frac{GA}{GM}\times\frac{IM}{IC}=1\)

=>\(\frac{FC}{FA}=\frac{1}{2}\times\frac{IC}{IM}\)

(1)\(\frac{EB}{EA}+\frac{FC}{FA}=\frac{1}{2}\times\frac{\left(IB+IC\right)}{IM}\)

IB =IM +MB =IM +MC (2)

IC =IM -MC (3)

Thay 3) vào (1) ta được

\(\frac{EB}{EA}+\frac{FC}{FA}=\frac{1}{2}\times2=\frac{IM}{IM}=1\)

BN tự kẻ hình nha!!

\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

Gia sử AB < AC

Kẻ BM,CN // DE , trung tuyến AF

Tam giác BMF = tam giác CNF ( g.c.g)

=> MF = NF

=> AB/AD = AM/AG ; AC/AE = AN/AG

=> AB/AD = AM+AN/AG = AF-MF+AF+NF/AG = 2AF/AG = 3 ( VÌ AF = 3/2.AG )

=> ĐPCM

Tk mk nha