xét từng chữ số tận cùng của n

VD Với n có tận cùng là 1 thì n^5 có tận cùng là 1

     Với n có tận cùng là 2 thì n^4 có tận cùng là 6.Suy ra n^5 có tận cùng là 2

     Với n có tận cùng là 3 thìn^4 có tận cùng là 1.Suy ra n^5 có tận cùng là 3

                                ........ 

Theo mình là như thế

xét từng chữ số tận cùng của n

VD Với n có tận cùng là 1 thì n^5 có tận cùng là 1

     Với n có tận cùng là 2 thì n^4 có tận cùng là 6.Suy ra n^5 có tận cùng là 2

     Với n có tận cùng là 3 thìn^4 có tận cùng là 1.Suy ra n^5 có tận cùng là 3

                                ........ 

Tự tìm nha

a) Xét hiệu : \(n^5-n\)

Đặt : \(A\text{=}n^5-n\)

Ta có : \(A\text{=}n.\left(n^4-1\right)\text{=}n.\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)

\(A\text{=}n.\left(n+1\right).\left(n-1\right).\left(n^2+1\right)\)

Vì : \(n.\left(n+1\right)\) là tích hai số tự nhiên liên tiếp .

\(\Rightarrow A⋮2\)

Ta có : \(A\text{=}n\left(n+1\right)\left(n-1\right)\left(n^2+1\right)\)

\(A\text{=}n\left(n+1\right)\left(n-1\right)\left(n^2-4+5\right)\)

\(A\text{=}n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5n.\left(n+1\right)\left(n-1\right)\)

Ta thấy : \(\left\{{}\begin{matrix}n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)⋮5\\5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮5\end{matrix}\right.\) vì tích ở trên là tích của 5 số liên tiếp nên chia hết cho 5.

Do đó : \(A⋮10\)

\(\Rightarrow A\) có chữ số tận cùng là 0.

Suy ra : đpcm.

b) Vì \(n⋮3̸\) nên n có dạng : \(3k+1hoặc3k+2\left(k\in N\right)\)

Với : n= 3k+1

Thì : \(n^2\text{=}9k^2+6k+1\)

Do đó : \(n^2\) chia 3 dư 1.

Với : n=3k+2

Thì : \(n^2\text{=}9k^2+12k+4\text{=}9k^2+12k+3+1\)

Do đó : \(n^2\) chia 3 dư 1.

Suy ra : đpcm.

Coi chữ số tận cùng của n là h

Với n lẻ :

\(n^5=n^4.n=\left(...1\right).n=\left(..1\right)\left(...a\right)=\left(...a\right)\)

Tương tự với n chẵn :

\(n^5=n^4.n=\left(...6\right).n=\left(..6\right)\left(...a\right)=\left(...a\right)\)

Vậy ...

Không hiểu nổi @trần thùy dung CTV viết cái gì nữa:

\(A=n^5-n\)

 A chia hết cho 5 với mọi n thuộc N (*)

\(A=n^5-n=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)=> A chia hết cho 2 (**)

(*)&(**)=> A chia hết cho 10=> A tận cùng là 0 vậy n^5 và n có số tận cùng = nhau=> dpcm

p/s: (*) nếu cần có thể c/m nhưng nó thuộc t/c do vậy ko cần c/m nữa

Ta có:

n⁵ - n = n(n⁴ - 1)

= n(n² - 1)(n² - 4 + 5)

= n(n² - 1)(n² - 4) + 5n(n² - 1)

= (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5(n - 1)n(n + 1)

Ta thấy (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) là 5 số tự nhiên liên tiếp nên sẽ đồng thời chia hết cho 2 và cho 5. Hay là (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) sẽ chia hết cho 10 (1)

Ta lại co (n - 1)n(n + 1) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên sẽ chia hết cho 2

=> 5(n - 1)n(n + 1) chia hết cho 10 (2)

Từ (1) và (2) => n⁵ - n chia hết cho 10 hay là co tận cùng là 0.

Vậy n⁵ và n luôn có chữ số tận cùng giống nhau.

                        Giải

Ta có:n⁵ - n = n(n⁴ - 1)

= n(n² - 1)(n² - 4 + 5)

= n(n² - 1)(n² - 4) + 5n(n² - 1)

= (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5(n - 1)n(n + 1)

Ta thấy (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) là 5 số tự nhiên liên tiếp nên sẽ đồng thời chia hết cho 2 và cho 5. Hay là (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) sẽ chia hết cho 10 (1)

Ta lại co (n - 1)n(n + 1) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên sẽ chia hết cho 2

=> 5(n - 1)n(n + 1) chia hết cho 10 (2)

Từ (1) và (2) => n⁵ - n chia hết cho 10 hay là co tận cùng là 0.

Vậy n⁵ và n luôn có chữ số tận cùng giống nhau.\(\left(đpcm\right)\)

Nếu n và n⁵ có chữ số tận cùng giống nhau

\(\Rightarrow n^5-n⋮10\)

Ta có:

\(n^5-n\)

\(=n\left(n^4-1\right)\)

\(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4+5\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Vì \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)\) là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp

\(\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)⋮5\)

Vì \(n\left(n-1\right)\) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp

\(\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)⋮2\)

\(\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)⋮10\left(1\right)\)

Ta có: \(5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)⋮5\)

Vì \(n\left(n-1\right)\) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp

\(\Rightarrow5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮2\)

\(\Rightarrow5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮10\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra

\(n\left(n+1\right)\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮10\)

\(\Rightarrow n^5-n⋮10\)

Vậy n và n⁵ có chữ số tận cùng giống nhau