Nếu n và n5 có chữ số tận cùng giống nhau
⇒n5−n⋮10⇒n5−n⋮10
Ta có:
n5−nn5−n
=n(n4−1)=n(n4−1)
=n(n2−1)(n2+1)=n(n2−1)(n2+1)
=n(n−1)(n+1)(n2−4+5)=n(n−1)(n+1)(n2−4+5)
=n(n−1)(n+1)(n2−4)+5n(n−1)(n+1)=n(n−1)(n+1)(n2−4)+5n(n−1)(n+1)
=n(n−1)(n+1)(n−2)(n+2)+5n(n−1)(n+1)=n(n−1)(n+1)(n−2)(n+2)+5n(n−1)(n+1)
Vì n(n−1)(n+1)(n−2)(n+2)n(n−1)(n+1)(n−2)(n+2) là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp
⇒n(n−1)(n+1)(n−2)(n+2)⋮5⇒n(n−1)(n+1)(n−2)(n+2)⋮5
Vì n(n−1)n(n−1) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp
⇒n(n−1)(n+1)(n−2)(n+2)⋮2⇒n(n−1)(n+1)(n−2)(n+2)⋮2
⇒n(n−1)(n+1)(n−2)(n+2)⋮10(1)⇒n(n−1)(n+1)(n−2)(n+2)⋮10(1)
Ta có: 5n(n−1)(n+1)(n−2)(n+2)⋮55n(n−1)(n+1)(n−2)(n+2)⋮5
Vì n(n−1)n(n−1) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp
⇒5n(n−1)(n+1)⋮2⇒5n(n−1)(n+1)⋮2
⇒5n(n−1)(n+1)⋮10(2)⇒5n(n−1)(n+1)⋮10(2)
Từ (1) và (2) suy ra
n(n+1)(n−1)(n−2)(n+2)+5n(n−1)(n+1)⋮10n(n+1)(n−1)(n−2)(n+2)+5n(n−1)(n+1)⋮10
⇒n5−n⋮10⇒n5−n⋮10
Vậy n và n5 có chữ số tận cùng giống nhau
hok tốt
Ta có: \(n^5-n=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2-4+5\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2-4\right)+5n\left(n^2+1\right)\)
\(=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+5\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)
Ta thấy (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) là 5 số tự nhiên liên tiếp đồng thời chia hết cho 2 và 5
hay (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) chia hết cho 10 (1)
Ta lại có: (n-1)n(n+1) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên sẽ chia hết cho 2
=> 5(n-1)(n+1) chia hết cho 10 (2)
Từ (1)(2) => \(n^5-n\)chia hết cho 10 hay có chữ số tận cùng là 0
=> đpcm
