ta có : ( a-b) - (b+c) + ( c-a) - (a-b-c) = a-b-b-c+c-a-a+b+c=-b-a+c = -(b+a-c)                                                                                                -(b +a-c) = -(a+b-c)              

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=\frac{a+b+c}{b+c+a}=1\left(a+b+c\ne0\right)\)

=>a/b=1 => a=b (1)

b/c=1 => b=c (2)

Từ (1) và (2) => a=b=c

1) (a - b + c) - (a + c) = -b

Xét vế trái, ta có:

( a - b + c ) - ( a + c ) = a - b + c - a - c

= a - a + c - c - b

= 0 + 0 - b = - b đpcm

2) (a + b) - (b - a) + c = 2a + c

xét vế trái, ta có: ( a + b ) - ( b - a ) + c = a + b - b + a + c

= a + a + b - b + c

= 2a + c đpcm

3) -(a + b - c) + (a - b - c) = -2b

Xét vế trái, ta có: - a - b + c + a - b - c = -a + a - b - b + c - c

= 0 - ( b + b ) + 0

= -2b đpcm

4) a(b + c) - a(b + d) = a(c - d)

5) a(b - c) + a(d + c) = a(b +d)

Các phần còn lại bạn làm tương tự 3 phần đầu nhé, sử dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng, giao hoán, kết hợp và biết được 2 trường hợp phá dấu ngoặc.

+ Đối với dấu cộng: Khi phá ngoặc, các dấu trong ngoặc giữ nguyên.

+ Đối với dấu trừ: Khi phá ngoặc, các dấu trong ngoặc thay đổi ( âm thành dương và ngược lại )

1) (a – b + c) – (a + c) = -b

Xét VT: (a – b + c) – (a + c) = a -b +c -a -c

= (a -a) + (c-c) -b

= -b = VP

⇒ ĐPCM

2) (a + b) – (b – a) + c = 2a + c

Xét VT: (a + b) – (b – a) + c = a +b -b +a +c

= (a +a) + (b-b) +c

= 2a +c = VP

⇒ ĐPCM

3) - (a + b – c) + (a – b – c) = -2b

Xét VT: - (a + b – c) + (a – b – c) = -a -b +c +a -b -c

= ( -a+a) - (b+b) + (c-c)

= -2b = VP

⇒ ĐPCM

4) a(b + c) – a(b + d) = a(c – d)

Xét VT: a(b + c) – a(b + d) = ab +ac -ab -ad

= (ab -ab) + a(c -d)

= a.(c-d) = VP

⇒ ĐPCM

5) a(b – c) + a(d + c) = a(b + d)

Xét VT: a(b – c) + a(d + c) = ab -ac +ad +ac

= ( -ac +ac) + a(b+d)

= a( b+d) = VP

⇒ ĐPCM

6) a.(b – c) – a.(b + d) = -a.( c + d)

Xét VT: a.(b – c) – a.(b + d) = ab - ac -ab -ad

= (ab -ab) - a(c +d)

= -a.(c+d) = VP

⇒ ĐPCM

Ta có a, b, c, d thuộc  N*
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\)

\(\frac{b}{a+b+d}>\frac{b}{a+b+c+d}\)

\(\frac{c}{b+c+d}>\frac{c}{a+b+c+d} \)

\(\frac{d}{a+c+d}>\frac{d}{a+b+c+d}\)

Cộng vế theo vế, ta có: M>\(\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}\)=1
Vì a, b, c, d thuộcc N* \(\Rightarrow\) \(\frac{a}{a+b+c}< 1 \)\(\Rightarrow\)  \(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\)
Tương tự, ta có: \(\frac{b}{a+b+d}< \frac{b+c}{a+b+c+d},\frac{c}{b+c+d}< \frac{c+a}{a+b+c+d},\frac{d}{a+c+d}< \frac{d+b}{a+b+c+d}\)

Tiếp nha bạn:
Công vế theo vế ta có:
M<\(\frac{a+d+b+c+c+a+d+b}{a+b+c+d} \Rightarrow M< \frac{2a+2b+2c+2d}{a+b+c+d}\)\(\Rightarrow M< \frac{2\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=2\)

\(\Rightarrow\) M<2               (2)
 Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\)  1<M<2
                      \(\Rightarrow\)   M không có giá trị là số nguyên

Áp dụng DTSBN:\(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a-b}{c-d}\Rightarrow\left(\frac{a-b}{c-d}\right)^2=\frac{a}{c}.\frac{b}{d}\RightarrowĐpcm\)

\(\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}=\frac{\left(c-d\right)^2}{cd}\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{c^2+d^2}{cd}\Leftrightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{c}{d}+\frac{d}{c}\left(1\right);\frac{a}{b}=\frac{c}{d},\frac{b}{a}+\frac{d}{c}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra ĐPCM

Cách 1 : Đặt = k  (dễ tự làm nhé)

Cách 2 :

Từ \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)

=>\(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)(t/c tlt)

=> \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a-b}{c-d}\)( t/c dtsbn)

=> \(\left(\frac{a}{c}\right)^2=\left(\frac{b}{d}\right)^2=\left(\frac{a-b}{c-d}\right)^2\)

=>\(\frac{a}{c}.\frac{a}{c}=\left(\frac{a-b}{c-d}\right)^2\)

=>\(\frac{a}{c}.\frac{b}{d}=\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}\left(because\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\right)\)

=> đpcm

ai ủng hộ vài li-ke lên 90 điểm hỏi đáp đi

Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\) => \(\hept{\begin{cases}a=bk\\c=dk\end{cases}}\)

a) Khi đó, ta có:

 +) \(\frac{bk}{b}=k\)

+) \(\frac{bk+dk}{b+d}=\frac{k\left(b+d\right)}{b+d}=k\)

=> \(\frac{a}{b}=\frac{a+c}{b+d}\)

b) Ta có:

 +) \(\frac{bk-b}{b}=\frac{b\left(k-1\right)}{b}=k-1\)

 +) \(\frac{dk-d}{d}=\frac{d\left(k-1\right)}{d}=k-1\)

=> \(\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}\)

c) Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=bk\\c=dk\end{cases}}\)

Do đó \(\frac{ac}{bd}=\frac{bk.dk}{bd}=k^2\)(1)

\(\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\frac{\left(bk\right)^2+\left(dk\right)^2}{b^2+d^2}=\frac{k^2\left(b^2+d^2\right)}{b^2+d^2}=k^2\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{ac}{bd}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\left(=k^2\right)\left(đpcm\right)\)