=x²-bx-ax+ab+x²-cx-bx+bc+x²-cx-ax+x²

=(x²+x²+x²+x²)-(ax+bx+cx+ax+bx+cx)+ab+bc+ca

=4x²-2(a+b+c)x+ab+bc+ca

Thay x=\(\frac{1}{2}\)(a+b+c) vào M ta đc:

M=4.\(\frac{1}{4}\)(a+b+c)²-2(a+b+c).\(\frac{1}{2}\)(a+b+c)+ab+bc+ca

  =(a+b+c)²-(a+b+c)²+ab+bc+ca

  =ab+bc+ca

mk ko hiểu bản có thể giải thích hộ mk ko

6.b

a/c = c/b ⇔ ab=c^2

⇒ (a^2 +ab) / ( b^2 +ab) = a/b

Ai giải giúp mình bài 1 với bài 4 trước đi

Bài 1

Cho a , b , c > 0 . CM : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(a+b\right)\left(b+c\right)\le\frac{a\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{b}+\frac{b\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{c}+\frac{c\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{a}\)

\(=\frac{a^2c}{b}+a^2+ab+ac+\frac{b^2\left(a+b\right)}{c}+b^2+ab+c^2+bc+\frac{cb\left(b+c\right)}{a}\)

Mặt khác : \(\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(a+b\right)\left(b+c\right)=a^2+ac+c^2+3b^2+3ab+3bc\)

Do đó ta cần chứng minh :

\(\frac{a^2c}{b}+\frac{b^2\left(a+b\right)}{c}+\frac{cb\left(b+c\right)}{a}\ge2b^2+2bc+ab\left(2\right)\)

\(VT=\frac{a^2c}{b}+\frac{b^2\left(a+b\right)}{c}+\frac{cb\left(b+c\right)}{a}=\frac{1}{2}\left(\frac{a^2c}{b}+\frac{b^3}{c}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{a^2c}{b}+\frac{c^2b}{a}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{b^3}{c}+\frac{c^2b}{a}\right)+b^2\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\)

\(\ge ab+\sqrt{ac^3}+\sqrt{\frac{b^4c}{a}}+2b^2\ge ab+2bc+2b^2=VP\)

Dấu " = " xảy ra khi a=b=c

Bài 2 :

Vì x , y , z > 0 ta có :

Áp dụng BĐT Cô - si đối với 2 số dương \(\frac{x^2}{y+z}\) và \(\frac{y+z}{4}\)

ta được :

\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+z}.\frac{y+z}{4}}=2.\frac{x}{2}=x\left(1\right)\) .

Tương tự ta cũng có :
\(\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\ge y\left(2\right);\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge z\left(3\right)\)

Cộng theo vế (1) , (2) và (3) ta được :
\(\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\right)+\frac{x+y+z}{2}\ge x+y+z\Rightarrow P\ge\left(x+xy+z\right)-\frac{x+y+z}{2}=1\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)

Vậy \(P=1\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)

Bài 3 :

Theo gt \(\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\le1\Rightarrow\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\le1-\frac{a}{1+a}=\frac{1}{a+1}\)

Do b > 0 ; c>0 . Nên theo bất đẳng thức Co - si ta có :
\(\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}>0\Rightarrow\frac{1}{1+a}\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}>0\left(1\right)\)

Chứng minh tương tự ta có :

\(\frac{1}{1+b}\ge2\sqrt{\frac{ac}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}}>0\left(2\right)\)

\(\frac{1}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}}>0\left(3\right)\)

Từ (1) , (2) và (3) ta chứng minh được :

\(\frac{1}{1+a}.\frac{1}{1+b}.\frac{1}{1+c}\ge8\frac{abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\Rightarrow1\ge8abc\Rightarrow abc\le\frac{1}{8}\Rightarrowđpcm\)