Cho x, y là các số nguyên thỏa mãn \(\frac{x^2-1}{2}=\frac{y^2-1}{3}\)
Chứng minh rằng \(x^2-y^2\) chia hết cho 40.
Những câu hỏi liên quan
cho x, y là các số nguyên dương thỏa mãn \(\frac{x^2-1}{2}=\frac{y^2-1}{3}\) .chứng minh rằng x2 -y2 chia hết cho 40
Giả thiết đã cho có thể viết lại được thành 3x2-2y2=1(1)
Từ đây, ta có x lẻ nên x2chia 8 dư 1 => 3x2 chia 8 dư 3
Từ đo ta có 2y2 chia 8 dư 2
=> y2 chia 8 dư 1. Do đó: x2-y2 chia 8 (2)
Tiếp theo ta sẽ chứng minh x2-y2chia hết cho 5 (3)
Chú ý rằng số dư của a2 (a thuộc Z) khi chia cho 5 là 0;1 và 4
Nếu y2 chia 5 thì từ (1) ta có 3x2 chia 5 dư 1, mâu thuẫn do só dư của 3x2 khi chia 5 chỉ có thể là 0;3;2Nếu y2 chia 5 dư 4 thì từ (1) ta có 3x2 chia 5 dư 4, mâu thuẫnDo đó ta phải có y2 chia 5 dư 1. Khi đó từ (1) ta cũng suy ra x2 chia 5 dư 1. Dẫn đến x2-y2 chia hết cho 5Từ (2) và (3) với chú ý (5;8)=1 ta thu được x2-y2 chia hết cho 40 (đpcm)
Xem thêm câu trả lời
cho x, y là các số nguyên dương thỏa mãn (x^2-1)/2 = (y^2-1)/3 .Chứng minh x^2 -y^2 chia hết cho 40
Cho x ,y ,z là các số nguyên dương thỏa mãn xyz = 1 . Chứng minh rằng :
\(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y^2}{z+1}+\frac{z^2}{z+1}\ge\frac{3}{2}\)
Nếu x; y; z là các số nguyên dương mà x y z = 1 => x = y = z = 1
=> bất đẳng thức luôn xảy ra dấu bằng
Sửa đề 1 chút cho z; y; x là các số dương
Ta có: \(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y+1}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+1}.\frac{y+1}{4}}=x\)
=> \(\frac{x^2}{y+1}\ge x-\frac{y+1}{4}\)
Tương tự:
\(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y^2}{z+1}+\frac{z^2}{z+1}\ge x+y+z-\frac{y+1}{4}-\frac{z+1}{4}-\frac{x+1}{4}\)
\(=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}.3\sqrt[3]{xyz}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1
cho x, y là các số nguyên dương thỏa mãn x^2−12=y^2−13 .chứng minh rằng x^2 -y^2 chia hết cho 40
cho x,y nguyên dương thỏa mãn \(\frac{x^2-1}{2}=\frac{y^2-1}{3}\).Chứng minh rằng \(x^2-y^2⋮40\)
Ta có: \(40=5.8,\left(5,8\right)=1\)nên ta sẽ chứng minh \(\left(x^2-y^2\right)⋮8\)và \(\left(x^2-y^2\right)⋮5\).
Giả thiết tương đương với: \(3x^2-2y^2=1\).
- Chứng minh \(\left(x^2-y^2\right)⋮8\).
Dễ thấy \(x\)lẻ nên \(x=2k+1\Rightarrow x^2=4k^2+4k+1=4k\left(k+1\right)+1\equiv1\left(mod8\right)\).
Do đó \(3x^2\equiv3\left(mod8\right)\Leftrightarrow2y^2+1\equiv3\left(mod8\right)\Leftrightarrow y^2\equiv1\left(mod8\right)\).
\(\Rightarrow x^2-y^2⋮8\).
- Chứng minh \(\left(x^2-y^2\right)⋮5\).
Số chính phương khi chia cho \(5\)dư \(0,1,4\)do đó: \(3x^2\equiv0,3,2\left(mod5\right)\), \(2y^2\equiv0,2,3\left(mod5\right)\).
Để \(3x^2-2y^2=1\equiv1\left(mod5\right)\)thì \(3x^2\equiv3\left(mod5\right),2y^2\equiv2\left(mod5\right)\)
khi đó \(x^2\equiv1\left(mod5\right),y^2\equiv1\left(mod5\right)\Rightarrow x^2-y^2⋮5\).
Từ đây ta có đpcm.
anh cho em kết bạn với anh để có thể hỏi cho dễ được không anh,trước giờ anh giúp em nhiều qúa mà em cũng không biết cảm ơn thế nào
cho x,y là các số nguyên thỏa mãn (x-y)^2 +2xy chia hết cho 4 . Chứng minh rằng x và y đều chia hết cho 2
\(\left(x-y\right)^2+2xy⋮4\)
\(\Rightarrow x^2-2xy+y^2+2xy⋮4\)
\(\Rightarrow x^2+y^2⋮4\)
\(\Rightarrow x^2⋮4;y^2⋮4\)
mà \(4⋮2\)
\(\Rightarrow x^2⋮2;y^2⋮2\Rightarrow x⋮2;y⋮2\)
\(\Rightarrow dpcm\)
Đúng 1
Bình luận (0)
Bài làm của bạn Trí từ chỗ \(x^2+y^2⋮4\Rightarrow x^2,y^2⋮4\) thì bạn còn phải xét thêm trường hợp \(x,y\) cùng lẻ nữa. Vì số chính phương khi chia cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1 nên nếu \(x,y\) lẻ thì \(x^2+y^2\) chia 4 dư 2, không thỏa mãn. Vậy mới suy ra được \(x^2,y^2⋮4\). Còn lại bạn đúng hết rồi.
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho x,y là các số nguyên
\(\frac{x^2-1}{2}=\frac{y^2-1}{3}\)
Chứng minh xy chia hết cho 40
Cho hỏi bạn có phải từng là h/s trường Tiểu học thị trấn Rừng Thông ko?
Nếu đúng thì liệu cậu sẽ còn nhớ mình
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho x,y là các số nguyên khác 1 thỏa mãn (x2-1)/(y+1) + (y2-1)/(x+1) là số nguyên . chứng minh rằng x2y22 -1 chia hết cho x+1
Cho a,b là các số nguyên dương thỏa mãn p=a^2+b^2 là số nguyên tố và p-5 chia hết cho 8 . Giả sử x,y là các số nguyên thỏa mãn ax^2-by^2 chia hết cho p. Chứng minh rằng cả 2 số x,y chia hết cho p
Cho a,b là các số nguyên dương thỏa mãn p=a^2+b^2 là số nguyên tố và p-5 chia hết cho 8 . Giả sử x,y là các số nguyên thỏa mãn ax^2-by^2 chia hết cho p. Chứng minh rằng cả 2 số x,y chia hết cho p
p=a^2+b^2 (1)
p là số nguyên tố, p-5 chia hết 8 => p lẻ >=13 và a,b có 1 chẵn 1 lẻ
A=a.x^2-b.y^2 chia hết cho p, nên có thể viết A = p(c.x^2 -d.y^2) với c,d phải nguyên
và c.p = a và d.p = b
thay (1) vào ta thấy c=a/(a^2+b^2) cần nguyên là vô lý vậy A muốn chia hết cho p <=> x và y cùng là bội số của p
Đúng 0
Bình luận (0)
Đặt \(p=8k+5\left(đk:K\in N\right)\)
Vì: \(\left(ax^2\right)^{4k+2}-\left(by^2\right)^{4k+2}⋮\left(ax^2-by^2\right)\)
\(\Rightarrow a^{4k+2}.x^{8k+4}-b^{4k+2}.y^{8k+4}⋮p\)
Mà \(a^{4k+2}.x^{8k+4}-b^{4k+2}.y^{8k+4}\)\(=\left(a^{4k+2}+b^{4k+2}\right).x^{8k+4}-b^{4k+2}\)\(\left(x^{8k+4}+y^{8k+4}\right)\)
Ta lại có: \(a^{4k+2}+b^{4k+2}=\left(a^2\right)^{2k+1}+\left(b^2\right)^{2k+1}⋮p\) ; p<d nên \(x^{8k+4}+y^{8k+4}⋮p\)
Làm tiếp đi
Đúng 0
Bình luận (0)
