a, Xét tam giác AHI và tam giác AKI có:
góc AHI= góc AKI(= 90 độ)
AI chung
góc HAI= góc KAI( phân giác góc A)
=>tam giác AHI= tam giác AKI( g.c.g)
=> HI= IK( cạnh tương ứng)
Xét tam giác BHI và CKI có:
góc BHI= CKI(= 90 độ)
HI= IK( chứng minh trên)
IB= IC( vì là đường trung trực)
=> tam giác BHI= tam giác CKI( c.g.c)
=> BH= CK( cạnh tương ứng) (đpcm)

a, Xét tam giác AHI và tam giác AKI có:
góc AHI= góc AKI(= 90 độ)
AI chung
góc HAI= góc KAI( phân giác góc A)
=>tam giác AHI= tam giác AKI( g.c.g)
=> HI= IK( cạnh tương ứng)
Xét tam giác BHI và CKI có:
góc BHI= CKI(= 90 độ)
HI= IK( chứng minh trên)
IB= IC( vì là đường trung trực)
=> tam giác BHI= tam giác CKI( c.g.c)
=> BH= CK( cạnh tương ứng) (đpcm)

Gọi đường trung trực của BC cắt BC tại M.

Xét ΔBMI và ΔCMI, ta có:

∠(BMI) = ∠(CMI) = 90o (gt)

BM = CM ( vì M là trung điểm của BC )

MI cạnh chung

Suy ra: ΔBMI = ΔCMI(c.g.c)

Suy ra: IB = IC ( hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông ΔIHA và ΔIKA, ta có:

∠(HAI) = ∠(KAI) ( vì AI là tia phân giác của góc BAC).

∠(IHA) = ∠(IKA) = 90o

AI cạnh huyền chung

Suy ra: ΔIHA = ΔIKA(cạnh huyền góc nhọn)

Suy ra: IH = IK (hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông ΔIHB và ΔIKC, ta có:

IB = IC ( chứng minh trên )

∠(IHB) =∠(IKC) =90o

IH = IK (chứng minh trên)

Suy ra: ΔIHB = ΔIKC(cạnh huyền.cạnh góc vuông)

Suy ra: BH = CK(hai cạnh tương ứng)

a) Xét tam giác AIH và tam giác AIK ta có:

AI là cạnh chung

\(\widehat{AHI}=\widehat{AKI}=90^o\)

\(\widehat{HAI}=\widehat{IAK}\)

\(\Rightarrow\Delta AIH=\Delta AIK\left(đpcm\right)\)

b) Xét tam giác HIB và tam giác KIC ta có:

IH = IK ( tam giác AIH = tam giác AIK )

\(\widehat{BHI}=\widehat{IKC}=90^o\)

\(IB=IC\left(=\frac{1}{2}BC\right)\)

\(\Rightarrow\Delta HIB=\Delta KIC\Rightarrow BH=CK\left(đpcm\right)\)

Xét ∆BMI và ∆CMI, ta có:

+) BM = CM (vì IM là đường trung trực của BC)

+) \(\widehat{BMI}=\widehat{CMI}=90^0\)

+) MI cạnh chung 

Suy ra: ∆BMI = ∆CMI (c.g.c)

⇒ IB = IC (hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông IHA và IKA, có: 

+) \(\widehat{HAI}=\widehat{KAI}\) (AI là phân giác góc A)

+) AI cạnh huyền chung

Suy ra: ∆IHA = ∆IKA (cạnh huyền - góc nhọn)

Suy ra: IH = IK (hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông IHB và IKC, có:

+) IB = IC (chứng minh trên)

+) IH = IK (chứng minh trên)

Suy ra: ∆IHB = ∆IKC (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

Suy ra: BH = CK (2 cạnh tương ứng)

dcm

Gọi M là trung điểm của BC

Xét hai tam giác vuông BMI và CMI có:

BM = CM (vì M là trung điểm của BC)

MI: cạnh chung

Vậy: \(\Delta BMI=\Delta CMI\left(hcgv\right)\)

Suy ra: IB = IC (hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông AHI và AKI có:

AI: cạnh huyền chung

\(\widehat{HAI}=\widehat{KAI}\left(gt\right)\)

Vậy: \(\Delta AHI=\Delta AKI\left(ch-gn\right)\)

Suy ra: IH = IK (hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông IHB và IKC có:

IB = IC (cmt)

IH = IK (cmt)

Vậy: \(\Delta IHB=\Delta IKC\left(ch-cgv\right)\)

Suy ra: BH = CK (hai cạnh tương ứng).

*Hình ảnh chỉ mang tính chất minh hoạ, mong bn thông cảm