\(<=>x^5\left(x-1\right)+x^3\left(x-1\right)+x\left(x-1\right)+\frac{3}{4}>0\)

\(<=>x\left(x-1\right)\left(x^4+x^2+1\right)+\frac{3}{4}>0\)

\(<=>\left(x^2-x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\right)\left(x^4+x^2+1\right)+\frac{3}{4}>0\)

\(<=>\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\left(x^4+x^2+1\right)-\frac{1}{4}\left(x^4+x^2+1\right)+\frac{3}{4}>0\)

Nhận xét:

\(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\left(x^4+x^2+1\right)\ge0\left(1\right)\)

\(\left(x^4+x^2+1\right)\ge1=>-\frac{1}{4}\left(x^4+x^2+1\right)\ge-\frac{1}{4}\)

\(=>-\frac{1}{4}\left(x^4+x^2+1\right)+\frac{3}{4}\ge\frac{1}{2}\left(2\right)\)

Từ 1 và 2 => Tổng > 0 => ĐPCM

Dễ thấy:

     \(VT\ge\left(x+y\right)^2+1-\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}=\dfrac{3\left(x+y\right)^2}{4}+1\)

Áp dụng Cô-si:

     \(\dfrac{3\left(x+y\right)^2}{4}+1\ge2\sqrt{\dfrac{3\left(x+y\right)^2}{4}.1}=\sqrt{3}\left|x+y\right|\ge\sqrt{3}\left(x+y\right)\)

Do đó:

     \(\left(x+y\right)^2+1-xy\ge\sqrt{3}\left(x+y\right),\forall x,y\in R\)

bó tay TcT

cái này đặt a= 2^-x,b=2^-y,c=2^-z
==>a+b+c=1
áp dụng cosi bình thường,vì a,b,c vai trò ngag nhau,đấu = khí a=b=c=1/3,dựa vào điểm rơi để áp dụng cosi thôi

\(=\left(4a-3-3a+4\right)\left(4a-3+3a-4\right)\)

\(=\left(a+1\right)\cdot7\cdot\left(a-1\right)⋮7\)

\(\dfrac{x^2+4}{4}\ge x\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4\left(x^2+4\right)}{4}\ge4x\)

\(\Leftrightarrow x^2+4\ge4x\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x+4\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2\ge0\) (Luôn đúng)

Vậy đẳng thức ban đầu được chứng minh.

\(\dfrac{x^2+4}{4}\ge x\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2+4}{4}\ge\dfrac{4x}{4}\)

\(\Leftrightarrow x^2+4+4x\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)^2\ge0\)    (luôn đúng)