Ta có: x^4+y^4=a^4+b^4 
=>x^4-a^4=b^4-y^4 
=>(x^2-a^2)(x^2+a^2) = (b^2-y^2)(b^2+y^2) 
=>(x-a)(x+a)(x^2+a^2) = (b-y)(b+y)(b^2+y^2) (1) 
Ta lại có: x+y=a+b 
=>x-a=b-y (2) 
Từ (1) và (2) suy ra 
(b-y)(x+a)(x^2+a^2) - (b-y)(b+y)(b^2+y^2) = 0 
=>(b-y) [(x+a)(x^2+a^2) - (b+y)(b^2+y^2)] = 0 
Nếu b=y thì x=a, suy ra x^n+y^n=a^n+b^n 
Nếu (x+a)(x^2+a^2)-(b+y)(b^2+y^2)=0 
=>(x+a)(x^2+a^2)=(b+y)(b^2+y^2) 
=>x+a=b+y và x^2+a^2=y^2+b^2 (*) 
=>x=b+y-a (3) và x^2+a^2=y^2+b^2 (4) 
Thay (3) vào (4) ta được: 
(b+y-a)^2+a^2=y^2+b^2 
=>b^2+y^2+a^2+2by-2ab-2ay+a^2=b^2+y^2 
=>2a^2+2by-2ab-2ay=0 
=>a^2+by-ab-ay=0 
=>a(a-b)-y(a-b)=0 
=>(a-b)(a-y)=0 
=>a=b hoặc a=y 
Nếu a=b từ (*) suy ra x=y 
=> x^n+y^n=a^n+b^n
Nếu a=y từ (*) suy ra x=b 
=>x^n+y^n=a^n+b^n 
Vậy x^n+y^n=a^n+b^n 

Thank bạn nhiều. Chúc bạn một năm ms vui vẻ nhé!

nhìn vào mà lóa hết cả mắt luôn

21. Phân tích A thành \(A=\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac\right)\). Từ đó dễ dàng chứng minh.

23. \(9y\left(y-x\right)=4x^2\Leftrightarrow9y^2-9xy=4x^2\Leftrightarrow4x^2+9xy-9y^2=0\)

Chia cả hai vế của đẳng thức trên với \(y^2>0\)được : 

\(4\left(\frac{x}{y}\right)^2+\frac{9x}{y}-9=0\). Đặt \(t=\frac{x}{y},t>0\)(Vì x,y dương)

\(\Rightarrow4^2+9t-9=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=\frac{3}{4}\left(\text{nhận}\right)\\t=-3\left(\text{loại}\right)\end{cases}}\)

Vậy \(\frac{x}{y}=\frac{3}{4}\Rightarrow y=\frac{4x}{3}\)thay vào biểu thức được :

\(\frac{x-y}{x+y}=\frac{x-\left(\frac{4x}{3}\right)}{x+\left(\frac{4x}{3}\right)}=-\frac{1}{7}\)

24. Tương tự câu 23 , ta được \(x=y\) hoặc \(y=-3x\)(loại trường hơp này vì mẫu thức phải khác 0)

 Vậy với x = y được \(A=-\frac{1}{2}\)

Câu 1 .

\(\left|x^2+|x+1|\right|=x^2+5\)

\(Đkxđ:x^2+5\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2\ge-5,\forall x\) ( với mọi x , vì bất cứ số nào bình phương cũng lớn hơn hoặc bằng - 5 ) 

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2+\left|x+1\right|=x^2+5\\x^2+\left|x+1\right|=-x^2-5\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left|x+1\right|=5\\\left|x+1\right|=-2x^2-5\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+1=5;x+1=-5\\x+1=-2x^2-5;x+1=2x^2+5\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=4;x=-6\\2x^2+x+1=0;-2x^2+x-4=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=4;x=-6\\2x^2+x+1=0\left(VN\right);-2x^2+x-4=0\left(VN\right)\end{cases}}\) ( VN là vô nghiệm nha ) 

Vậy : x = 4 hoặc x = -6