Cho a,b,c dương và a+b+c+<=3/2
CMR: P = căn (a^2+1/b^2) + căn (b^2+1/c^2) + căn (c^2+1/a^2) > =3.căn 17/2
Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a^2+b^2+c^2=3. Tím max A= a^3/căn(b^2+3) + b^3/căn(c^2+3) + c^3/căn(a^2+3)
Cho a, b, c là các số thực dương và a+b+c=1 . Chứng minh : Căn ( ab/c+ab ) + Căn ( bc/a+bc ) + Căn (ac/b+ac) <= 3/2
\(\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{ac+bc+c^2+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\)
\(tt\Rightarrow2\text{ lần biểu thức}=2\sqrt{\frac{bc}{\left(b+a\right)\left(c+a\right)}}+2\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}+2\sqrt{\frac{ca}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}}\)
\(\le\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+b}\left(\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}\right)=3\Rightarrow dpcm\)
cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa 1/a+1/b+1/c+3
c/m:căn (a+b)+căn(b+c)+căn(c+a) >=3 căn 2
cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn 1/a+1/b+1/c=3.
c/m: căn (a+b) +căn(b+c)+căn(c+a)>=3 căn 2
Cần c/m: \(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\ge3\sqrt{2}\)
Mặt khác \(\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{a+b}}+\frac{1}{\sqrt{b+c}}+\frac{1}{\sqrt{c+a}}\right)\ge9\)
Nên ta chỉ cần c/m \(P=\frac{1}{\sqrt{a+b}}+\frac{1}{\sqrt{b+c}}+\frac{1}{\sqrt{c+a}}\le\frac{9}{3\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\)
Ta có
\(P.\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{\left(a+b\right).2}}+\frac{1}{\sqrt{\left(b+c\right).2}}+\frac{1}{\sqrt{\left(c+a\right).2}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{a+b}}.\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{1}{b+c}}.\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{1}{c+a}}.\sqrt{\frac{1}{2}}\)
\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{c+a}+\frac{1}{2}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)+\frac{3}{4}\le\frac{1}{8}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)+\frac{3}{4}\)
\(=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{3}{4}=\frac{1}{4}.3+\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)
Suy ra \(P\le\frac{3}{2}:\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\)
BĐT được c/m
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Cho các số dương thực a, b,c thỏa mãn a2+b2+c2=3.
Chứng minh rằng:căn a^2/a^2+b+c+ căn a^2/a^2+b+c+ căn a^2/a^2+b+c lớn hơn hoặc bằng căn 3
Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có:
\(\left(a^2+b+c\right)\left(1+b+c\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)Do đó, để chứng minh bất đẳng thức đã cho, ta chỉ cần chứng minh rằng:
\(\frac{a\sqrt{1+b+c}+b\sqrt{1+c+a}+c\sqrt{1+a+b}}{a+b+c}\le\sqrt{3}\)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi lần thứ hai ta nhận được:
\(VT=\frac{\sqrt{a}\sqrt{a\left(1+b+c\right)}+\sqrt{b}\sqrt{b\left(1+c+a\right)}+\sqrt{c}\sqrt{c\left(1+a+b\right)}}{a+b+c}\)
\(\le\frac{\sqrt{\left(a+b+c\right)\left[a\left(1+b+c\right)+b\left(1+c+a\right)+c\left(1+a+b\right)\right]}}{a+b+c}\)
\(=\sqrt{1+\frac{2\left(ab+bc+ca\right)}{a+b+c}}\)
\(\le\sqrt{1+\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}}\)
\(\le\sqrt{1+\frac{2\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}{3}}=\sqrt{3}\left(đpcm\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
sửa đề thành \(a^2+b^2+c^2=3\) nhé
Cho ba số dương a,b,c. Chứng minh bất đẳng thức căn(2/a) + căn(2/b) + căn(2/c) <= căn((a+b)/ab) + căn((b+c)/bc) + căn((c+a)/ac)
Cho a, b, c là các số dương tùy ý. Chứng minh rằng: sigma(căn(5a^2+4bc)) lớn hơn hoặc bằng căn (3(a^2+b^2+c^2) +2(căn ab+căn bc + căn ca)
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với\(\Sigma_{cyc}\left(\sqrt{5a^2+4bc}-2\sqrt{bc}\right)\ge\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)
Hay \(\Sigma_{cyc}\frac{5a^2}{\sqrt{5a^2+4bc}+2\sqrt{bc}}\ge\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}\left(\Sigma_{cyc}\frac{5a^2}{\sqrt{5a^2+4bc}+2\sqrt{bc}}\right)\ge1\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có \(2\sqrt{5a^2+4bc}\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\le8a^2+3b^2+3c^2+4bc\)\(4\sqrt{bc}\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{4.3\sqrt{bc}.\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}{3}\)\(\le\frac{2\left(3a^2+3b^2+3c^2+9bc\right)}{3}=2\left(a^2+b^2+c^2+3bc\right)\)
Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được \(2\left(\sqrt{5a^2+4bc}+2\sqrt{bc}\right)\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)\(\le10a^2+5b^2+5c^2+10bc\)
Suy ra \(\frac{10a^2}{2\left(\sqrt{5a^2+4bc}+2\sqrt{bc}\right)\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}\)\(\ge\frac{10a^2}{10a^2+5b^2+5c^2+10bc}\)
Lại có \(10bc\le5b^2+5c^2\)nên \(\frac{10a^2}{10a^2+5b^2+5c^2+10bc}\ge\frac{10a^2}{10a^2+10b^2+10c^2}=\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}\)
Do đó ta được \(\frac{5a^2}{\left(\sqrt{5a^2+4bc}+2\sqrt{bc}\right)\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}\ge\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}\)(1)
Hoàn toàn tương tự, ta được: \(\frac{5b^2}{\left(\sqrt{5b^2+4ca}+2\sqrt{ca}\right)\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}\ge\frac{b^2}{a^2+b^2+c^2}\)(2) ; \(\frac{5c^2}{\left(\sqrt{5c^2+4ab}+2\sqrt{ab}\right)\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}\ge\frac{c^2}{a^2+b^2+c^2}\)(3)
Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được: \(\frac{1}{\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}\left(\Sigma_{cyc}\frac{5a^2}{\sqrt{5a^2+4bc}+2\sqrt{bc}}\right)\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}=1\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
cho 3 số thực dương ab,c thỏa mãn:ab+bc+ca=1. Chứng minh:((b+c)*căn(a^2+1)/(căn(b^2+1)*căn(c^2+1)
Đặt \(THANG=\frac{\left(b+c\right)\sqrt{a^2+1}}{\sqrt{b^2+1}\sqrt{c^2+1}}\)
\(=\frac{\left(b+c\right)\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}{\sqrt{b^2+ab+bc+ca}\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}\)
\(=\frac{\left(b+c\right)\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}{\sqrt{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)
\(=\frac{\left(b+c\right)}{\sqrt{\left(b+c\right)}\sqrt{\left(b+c\right)}}=\frac{\left(b+c\right)}{\sqrt{\left(b+c\right)^2}}\)
\(=\frac{b+c}{b+c}=1\left(b,c\in R^+\right)\)
cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn 1/a+1/b+1/c<=3.Tìm GTLN của biểu thức P=1/(căn a^2-ab+3b^2+1)+1/(căn b^2-bc+3c^2+1)=1/(căn c^2-ca+3a^2+1)
Ta có: \(a^2-ab+3b^2+1=\left(a^2-2ab+b^2\right)+ab+\left(b^2+1\right)+b^2\)
\(=\left(a-b\right)^2+ab+\left(b^2+1\right)+b^2\ge ab+2b+b^2\)
\(=b\left(a+b+2\right)\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}}\le\frac{1}{\sqrt{b\left(a+b+2\right)}}\)(1)
Tương tự: \(\frac{1}{\sqrt{b^2-bc+3c^2+1}}\le\frac{1}{\sqrt{c\left(b+c+2\right)}}\)(2); \(\frac{1}{\sqrt{c^2-ca+3a^2+1}}\le\frac{1}{\sqrt{a\left(c+a+2\right)}}\)(3)
Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3) và sử dụng AM - GM kết hợp liên tục BĐT \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\), ta được:
\(P\le\frac{1}{\sqrt{b\left(a+b+2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{c\left(b+c+2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{a\left(c+a+2\right)}}\)
\(=\Sigma\frac{2}{\sqrt{4b\left(a+b+2\right)}}\)\(\le\Sigma\left(\frac{1}{4b}+\frac{1}{a+b+2}\right)\)(AM - GM)
\(=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\text{}\Sigma\left(\frac{1}{a+b+2}\right)\)
\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\text{}\Sigma\left[\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b}\right)+\frac{1}{2}\right]\)
\(\le\frac{3}{4}+\text{}\left[\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\text{}\Sigma\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\right]\)
\(=\frac{3}{4}+\text{}\left[\frac{3}{8}+\text{}\frac{1}{8}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\right]\le\frac{3}{4}+\frac{3}{8}+\frac{3}{8}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Dòng thứ 10 sửa lại cho mình là \(\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\Sigma\left[\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{2}\right)\right]\)
Do olm có lỗi là mỗi lần bấm dấu ngoặc là số nó tự động nhảy ra ngoài
Cách khác
Ta đi chứng minh \(\sqrt{ab+3b^2+1}\ge\frac{a+5b+2}{4}\)
\(\Leftrightarrow16\left(ab+3b^2+1\right)\ge\left(a+5b+2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow13\left(a-b\right)^2+10\left(b-1\right)^2+2\left(a-1\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
Khi đó \(P\le\frac{4}{a+5b+2}+\frac{4}{b+5c+2}+\frac{4}{c+5a+2}\)
\(\le\frac{1}{a+b+2}+\frac{1}{4b}+\frac{1}{b+c+2}+\frac{1}{4c}+\frac{1}{c+a+2}+\frac{1}{4a}\)
\(\le\frac{1}{16}\left(\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}+6\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\le\frac{12}{16}+\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra tại a=b=c=1