1 phần thôi nhé

Nối BE, Gọi P là giao điểm của AD với BE.

Áp dụng định lí Ceva cho tam giác ABE => AH/HE=BP/PE=> HP//AB(1).

Từ (1)=> Tam giác AHP cân tại H=> AH=HP.(2)

Ta cần chứng minh AD//CE <=> DP//CE <=> BD/BC=BP/BE <=> BD/BC=1-(EP/BE).(3)

Mà EP/BE=HP/AB (do (1))=> EP/BE= AH/AB=HD/DB (do (2) và tc phân giác).  (4)

Khi đó (3)<=> BD/BC=1-(HD/DB) hay (BD/BC)+(HD/DB)=1 <=> BD^2+HD*BC=BC*DB

<=>  BD^2+HD*BC= (BD+DC)*BD <=> BD^2+HD*BC= BD^2+BD*DC <=> HD*BC=BD*DC  

<=> HD/DB=CD/BC <=> AH/AB=CD/BC. (5) 

    Chú ý: Ta cm được: CA=CD (biến đổi góc).

Nên (5) <=> AH/AB=CA/BC <=> Tg AHB đồng dạng Tg CAB.( luôn đúng)

=> DpCm. 

a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên AB^2=BH*BC và AC^2=CH*BC

=>AB^2/AC^2=BH/CH

b: S AHC=8,64

=>1/2*AH*HC=8,64

=>AH*HC=17,28

S AHB=15,36

=>1/2*AH*HB=15,36

=>AH*HB=30,72

mà AH*HC=17,28

nên AH*AH*HB*HC=30,72*17,28

=>AH^2*AH^2=30,72*17,28

=>AH^4=530,8416

=>\(AH=\sqrt[4]{530.8416}=4.8\left(cm\right)\)

cho tam giác ABC và 3 điểm A',B',C' lần lượt nằm trên 3 cạnh BC,AC,AB ( A',B',C' không trùng với các đỉnh của tam giác )

Khi đó ta có : AA',BB',CC' đồng quy \(\Leftrightarrow\frac{A'B}{A'C}.\frac{B'C}{B'A}.\frac{C'A}{C'B}=1\)

Gọi P là giao điểm của AD và BE

Áp dụng định lí Ceva vào \(\Delta ABE\),ta có :

\(\frac{BP}{PE}.\frac{HE}{AH}.\frac{AM}{BM}=1\Rightarrow\frac{AH}{HE}=\frac{BP}{PE}\Rightarrow PH//AB\)

\(\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{DPH}\)

Mà \(\widehat{BAD}=\widehat{DAH}\)

\(\Rightarrow\widehat{DAH}=\widehat{PDH}\Rightarrow\Delta AHP\)cân tại H

\(\Rightarrow HP=AH\)

Cần chứng minh \(DP//CE\Leftrightarrow\frac{BD}{BC}=\frac{BP}{BE}\Leftrightarrow\frac{BD}{BC}=1-\frac{EP}{BE}\)

Ta có : \(\frac{EP}{BE}=\frac{HP}{AB}=\frac{AH}{AB}=\frac{HD}{BD}\)

Khi đó : \(\frac{BD}{BC}=1-\frac{HD}{BD}\Leftrightarrow\frac{BD}{BC}+\frac{HD}{BD}=1\Leftrightarrow BD^2+HD.BC=BC.BD=\left(BD+DC\right).BD\)

\(\Rightarrow HD.BC=CD.BD\Rightarrow\frac{HD}{BD}=\frac{CD}{BC}\Leftrightarrow\frac{AH}{AB}=\frac{CD}{BC}\)

Ta có : \(\widehat{CDA}=\widehat{DBA}+\widehat{BAD}=\widehat{CAH}+\widehat{DAH}=\widehat{CAD}\)

\(\Rightarrow\Delta CAD\)cân tại C \(\Rightarrow CD=CA\)

Từ đó suy ra : \(\frac{AH}{AB}=\frac{AC}{BC}\)    ( đúng vì \(\Delta AHB~\Delta CAB\left(g.g\right)\))

Vậy ta có đpcm

a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC\)

=>\(AH=\sqrt{4\cdot9}=6\left(cm\right)\)

Xét tứ giác ADHE có \(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)

=>ADHE là hình chữ nhật

=>DE=AH=6(cm)

b: Xét tứ giác ADHE có

\(\widehat{ADH}+\widehat{AEH}=180^0\)

=>ADHE là tứ giác nội tiếp

=>A,D,H,E cùng nằm trên 1 đường tròn

c: \(\widehat{CAK}+\widehat{BAK}=90^0\)

\(\widehat{CKA}+\widehat{HAK}=90^0\)

mà \(\widehat{BAK}=\widehat{HAK}\)

nên \(\widehat{CAK}=\widehat{CKA}\)

=>ΔCAK cân tại C

ΔCAK cân tại C

mà CI là đường trung tuyến

nên CI là đường cao

=>CI vuông góc AK