Xét ΔABD có 

E là trung điểm của AD

I là trung điểm của AB

Do đó: EI là đường trung bình của ΔABD

Suy ra: EI//BD và \(EI=\dfrac{BD}{2}\left(1\right)\)

Xét ΔBDC có

H là trung điểm của BC

K là trung điểm của CD

Do đó: HK là đường trung bình của ΔBDC

Suy ra: HK//BD và \(HK=\dfrac{BD}{2}\left(2\right)\)

Xét ΔABC có 

I là trung điểm của AB

H là trung điểm của BC

Do đó: IH là đường trung bình của ΔBAC

Suy ra: \(IH=\dfrac{AC}{2}\)

mà AC=BD

nên \(IH=\dfrac{BD}{2}\)

hay IH=HK

Xét tứ giác IEKH có 

EI//KH

EI=KH

Do đó: IEKH là hình bình hành

mà IH=HK

nên IEKH là hình thoi

Xét Δ AQN và Δ MBN có :

\(\widehat{QAM}=\widehat{MBN}=90^o\)

\(AM=BM\) (M là trung điểm AB)

\(AQ=BN\) (Q;N là trung điểm AD;BC và AD=BC)

⇒ Δ AQN và Δ MBN (cạnh, góc, cạnh)

\(\Rightarrow QM=MN\left(1\right)\)

Chứng minh tương tự :

- Δ AQN và Δ QDP (cạnh, góc, cạnh) \(\Rightarrow QM=QP\left(2\right)\)

- Δ PNC và Δ QDP (cạnh, góc, cạnh) \(\Rightarrow PN=QP\left(3\right)\)

- Δ PNC và Δ MBN  (cạnh, góc, cạnh) \(\Rightarrow PN=MN\left(4\right)\)

\(\left(1\right);\left(2\right);\left(3\right);\left(4\right)\Rightarrow QM=MN=PN=QP\)

⇒ Tứ giác MNQP là hình thoi (dpcm)

Cm: Nối AM:

Xét t/giác ABC có: AM = MB (gt)

                  BN = NC (gt)

=> MN là đường trung bình của t/giác ABC

=> MN // AC và MN = 1/2AC (1)

Xét t/giác ADC có: AF = FD (gt)

                      DE = EC (gt)

=> EF là đường trung bình của t/giác ABC

=> EF // AC và EF = 1/2AC (2)

Từ (1) và (2) => MN // EF và MN = EF => MNEF là hình bình hành (*)

Do ABCD là HCN => AB  = DC => 1/2AB = 1/2DC => AM = DE

Xét t/giác AFM và t/giác DFE

có: AF = FD (gt)

 \(\widehat{A}=\widehat{D}=90^0\) (gt)

 AM = DE (cmt)

=> t/giác AFM = t/giác DFE (c.g.c)

=> FM = FE (2 cạnh t/ứng) (**)

Từ (*) và (**) => MNEF là hình thoi

Xét ΔACB có

E là trung điểm của AB

F là trung điểm của BC

Do đó: EF là đường trung bình của ΔACB

Suy ra: EF//AC và \(EF=\dfrac{AC}{2}\left(1\right)\)

Xét ΔADC có 

H là trung điểm của AD

G là trung điểm của CD

Do đó: HG là đường trung bình của ΔADC

Suy ra: HG//AC và \(HG=\dfrac{AC}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra EF//HG và EF=HG

Xét ΔABD có 

E là trung điểm của AB

H là trung điểm của AD

Do đó: EH là đường trung bình của ΔABD

Suy ra: \(EH=\dfrac{BD}{2}=\dfrac{AC}{2}\left(3\right)\)

Từ (1) và (3) suy ra EF=EH

Xét tứ giác EHGF có 

EF//GH

EF=GH

Do đó: EHGF là hình bình hành

mà EF=EH

nên EHGF là hình thoi

a: Xét ΔABD có 

M là trung điểm của AB

K là trung điểm của AD

Do đó: MK là đường trung bình của ΔBAD

Suy ra: MK//BD và \(MK=\dfrac{BD}{2}\left(1\right)\)

Xét ΔCBD có 

N là trung điểm của BC

I là trung điểm của CD

Do đó: NI là đường trung bình của ΔCBD

Suy ra: NI//BD và \(NI=\dfrac{BD}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra MK//NI và MK=NI

hay MKIN là hình bình hành