a;b;c là 3 cạnh của tam giác => a; b; c dương

Với a; b dương ta có:  \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) => a + b \(\ge\) 2. \(\sqrt{ab}\)

Tương tự, b + c \(\ge\) 2.\(\sqrt{bc}\); c + a \(\ge\)2. \(\sqrt{ca}\)

=> (a + b).(b+c).(c+a) \(\ge\)8. \(\sqrt{ab}\).\(\sqrt{bc}\).\(\sqrt{ca}\) = 8.abc 

Dấu = xảy ra khi a = b = c

=> tam giác có 3 cạnh là a; b; c là tam giác đều

\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)

Tương tự: \(b+c\ge2\sqrt{bc}\) ; \(c+a\ge2\sqrt{ca}\)

Nhân vế với vế:

\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\) hay tam giác đã cho là tam giác đều

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho 3 số dương a, b, c

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)    ;  \(b+c\ge2\sqrt{bc}\);   \(c+a\ge\sqrt{ca}\)

Nhân các vế của BĐT \(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)

Dấu " = " xảy ra khi a = b = c => tam giác đó đều

Do a,b,c là 3 cạnh là 3 cạnh tam giác =>a,b,c>0

Áp dụng BĐT co si cho 2 số dương ta có:

a+b\(\ge2\sqrt{ab}\)

b+c\(\ge2\sqrt{bc}\)

a+c\(\ge2\sqrt{ac}\)

=>(a+b)(b+c)(c+a)>\(2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}=8\sqrt{a^2b^2c^2}=8abc\)

Dấu bằng xảy ra <=>a=b b=c c=a=>a=b=c

Mà theo đề bài (a+b)(b+c)(c+a)=8abc

=>a=b=c=>tam giác đó là tam giác đều

co cach khac khong , minh chua hoc bat dang thuc cosi

Áp dụng bất đăng thức Cô-si cho 3 số dương a,b,c:

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\);    \(b+c\ge2\sqrt{bc}\);  \(c+a\ge\sqrt{ca}\)

Nhân các vế của BĐT \(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c => tam giác đó đều

\(\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)=8\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}=8\)

Ta có (a +b)² >=4ab với mọi a,b>0. Dấu = xảy ra <=> a = b

(b+c)² >=4bc, với mọi b,c >0. Dấu = xảy ra <=> b = c

(c+a)² >=4ca, với mọi a,b>0. Dấu = xảy ra <=> c = a

=> (a+b)²(b+c)²(c+a)² >=64a²b²c² (a,b,c >0)

=> (a+b)(b+c)(c+a) >=8abc => (a+b)(b+c)(c+a)/abc >=8

Dấu = xảy ra <=> a = b = c <=> Tam giác đều