\(VT=\frac{a^2}{ab^2+abc+ac^2}+\frac{b^2}{c^2b+abc+a^2b}+\frac{c^2}{a^2c+abc+b^2c}\)

Áp dụng BĐT Cauchy dạng phân thức 

\(\Rightarrow VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab\left(a+b\right)+abc+ac\left(a+c\right)+abc+bc\left(b+c\right)+abc}\)

\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab\left(a+b+c\right)+ac\left(a+b+c\right)+bc\left(a+b+c\right)}\)

\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ac\right)}\)

\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{a+b+c}{ab+bc+ac}\left(đpcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

Chúc bạn học tốt !!!

\(VT=\frac{a^2}{ab^2+abc+ac^2}+\frac{b^2}{c^2b+abc+a^2b}+\frac{c^2}{a^2c+abc+b^2c}\)

Áp dụng bđt Cauchy dạng phân thức 

\(\Rightarrow VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab\left(a+b\right)+abc+ac\left(a+c\right)+abc+bc\left(b+c\right)+abc}\)

\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab\left(a+b+c\right)+ac\left(a+b+c\right)+bc\left(a+b+c\right)}\)

\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ac\right)}\)

\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{a+b+c}{ab+bc+ac}\left(đpcm\right)\)

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c\)

Chúc bạn học tốt !!!

Đặt đẳng thức là A. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

\(\sqrt{2b\left(a-b\right)}\le\frac{2b+\left(a+b\right)}{2}=\frac{a+3b}{2}\)

Từ đó: \(A\ge\frac{2a\sqrt{2}}{a+3b}+\frac{2b\sqrt{2}}{b+3c}+\frac{2c\sqrt{2}}{c+3a}\)

Ta sẽ chứng minh: \(M=\frac{a}{a+3b}+\frac{b}{b+3c}+\frac{c}{c+3a}\ge\frac{3}{4}\)

Thật vậy, ta có: \(M=\frac{a^2}{a^2+3ab}+\frac{b^2}{b^2+3bc}+\frac{c^2}{c^2+3ca}\)

Theo BĐT AM-GM ta có:

\(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\)

Áp dụng BĐT cauchy ta được:

\(M\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\frac{4}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{8}{3}\left(ab+bc+ca\right)}\)\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\frac{4}{3}\left(a+b+c\right)^2}=\frac{3}{4}\)

Vì vậy: \(\frac{a}{a+3b}+\frac{b}{b+3c}+\frac{c}{c+3a}\ge\frac{3}{4}\)

Từ đó ta có: \(A\ge\frac{2a\sqrt{2}}{a+3b}+\frac{2b\sqrt{2}}{b+3c}+\frac{2c\sqrt{2}}{c+3a}\ge2\sqrt{2}.\frac{3}{4}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\)

Vậy đẳng thức xảy xa khi và chỉ khi a=b=c

Lời giải:
BĐT cần chứng minh tương đương với:

$\frac{1}{bc(2a^2+bc)}+\frac{1}{ac(2b^2+ac)}+\frac{1}{ab(2c^2+ab)}\geq 1(*)$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$\frac{1}{bc(2a^2+bc)}+\frac{1}{ac(2b^2+ac)}+\frac{1}{ab(2c^2+ab)}\geq \frac{9}{bc(2a^2+bc)+ac(2b^2+ac)+ab(2c^2+ab)}=\frac{9}{(ab+bc+ac)^2}=\frac{9}{3^2}=1$

Do đó BĐT $(*)$ đúng. Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

dạng này thì chỉ có quy đồng thôi nhé mặc dù quy đồng chưa ra

Đặt \(\frac{ab}{c}=x;\frac{bc}{a}=y;\frac{ca}{b}=z\Rightarrow xy=b^2;yz=c^2;xz=a^2\)

Ta có : \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2\ge o\\\left(y-z\right)^2\ge0\\\left(x-z\right)^2\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)-2\left(xy+yz+xz\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+xz\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\ge3\left(xy+yz+xz\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+xz\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+y+z\right)^2}\ge\sqrt{3\left(xy+yz+xz\right)}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\right)^2}\ge\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)( a,b,c là số thực dương ) ( ĐPCM )

Bài này sử dụng Cô-si ngược dấu:

\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{a.\left(a^2+ab+b^2\right)-ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}=a-\frac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\)

có: \(\frac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\le\frac{ab\left(a+b\right)}{2ab+ab}=\frac{a+b}{3}\)

=> \(-\frac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\ge-\frac{ab\left(a+b\right)}{2ab+ab}=-\frac{a+b}{3}\)

=> \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\ge a-\frac{a+b}{3}\)

Chứng minh tương tự:

=> \(A\ge a+b+c-\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}=\frac{a+b+c}{3}\)

Cho a,b, c là các số thực dương. CMR:

a³a²+ab+b² +b³b²+bc+c² +c³c²+ac+a² ≥a+b+c3